Calcule:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x se aproxima de 1:
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}.
Informações dadas:
  • A expressão é a função racional \dfrac{x^{2}-1}{x-1}.
  • O ponto onde se avalia o limite é x=1.
    O que se pede: determinar o valor numérico do limite quando x tende a 1.

Passo 2

Primeiro teste rápido: tentar substituição direta para ver se dá para avaliar o limite imediatamente.
Substituindo x=1 em cima e embaixo:
\text{numerador }=1^{2}-1=0,\qquad \text{denominador }=1-1=0.
Obtém-se a forma \dfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Isso significa que a substituição direta não dá a resposta e precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

A técnica mais simples aqui é fatorar o numerador usando a identidade de diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=x e b=1:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).

Passo 4

Substituindo a fatoração na fração original:
\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}.
Para x\neq 1 podemos cancelar o fator (x-1) no numerador e no denominador, obtendo:
\frac{x^{2}-1}{x-1}=x+1\quad\text{(para }x\neq 1\text{)}.
Isso mostra que, para valores de x próximos de 1 (mas diferentes de 1), a expressão se comporta exatamente como x+1.

Passo 5

Agora usamos a propriedade de limites: se duas funções coincidem em todo ponto de uma vizinhança do ponto considerado (exceto possivelmente no próprio ponto), então têm o mesmo limite nesse ponto. Como a função simplificada é x+1, contínua em x=1, temos
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}(x+1).
Uma função polinomial é contínua, então o limite de x+1 quando x\to 1 é simplesmente o valor obtido por substituição x=1.

Passo 6

Efetuando a substituição final (avaliando a função contínua no ponto):
\lim_{x\to 1}(x+1)=1+1.
Portanto o limite é 1+1.

Resposta

2

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