Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
se aproxima de
:
Informações dadas:
- A expressão é a função racional
. - O ponto onde se avalia o limite é
.
O que se pede: determinar o valor numérico do limite quandotende a .
Passo 2
Primeiro teste rápido: tentar substituição direta para ver se dá para avaliar o limite imediatamente.
Substituindo em cima e embaixo:
Substituindo
Obtém-se a forma
, que é uma indeterminação. Isso significa que a substituição direta não dá a resposta e precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
A técnica mais simples aqui é fatorar o numerador usando a identidade de diferença de quadrados:
Aplicando com
e
:
Passo 4
Substituindo a fatoração na fração original:
Para
podemos cancelar o fator
no numerador e no denominador, obtendo:
Isso mostra que, para valores de
próximos de
(mas diferentes de
), a expressão se comporta exatamente como
.
Passo 5
Agora usamos a propriedade de limites: se duas funções coincidem em todo ponto de uma vizinhança do ponto considerado (exceto possivelmente no próprio ponto), então têm o mesmo limite nesse ponto. Como a função simplificada é
, contínua em
, temos
Uma função polinomial é contínua, então o limite de
quando
é simplesmente o valor obtido por substituição
.
Passo 6
Efetuando a substituição final (avaliando a função contínua no ponto):
Portanto o limite é
.