Determine:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- É uma função racional, quociente de dois polinômios: numerador
e denominador . - O limite é tomado quando
tende a .
Passo 2
O que normalmente acontece com limites quando
em funções racionais:
- Se os graus dos polinômios no numerador e no denominador forem iguais, o limite no infinito é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
- Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o limite tende a
(dependendo dos sinais). - Se o grau do numerador for menor, o limite tende a
.
Aqui os dois polinômios têm o mesmo grau: ambos são de grau
. Então, pela regra acima, o limite será a razão dos coeficientes dos termos
, ou seja
sobre
. Vou mostrar isso de forma rigorosa dividindo tudo por
.
Passo 3
Técnica: dividir numerador e denominador pelo maior poder de
presente (aqui
). Isso simplifica cada termo para formas que convergem facilmente quando
.
Aplicando a divisão:
Passo 4
Simplificando cada fração dentro:
Agora observe o comportamento dos termos que têm
no denominador quando
.
Passo 5
Fatos limites básicos que usaremos:
-
. - Portanto
e .
Usando isso no numerador e denominador obtidos no passo anterior, temos:
Passo 6
Concluindo a conta:
Portanto o limite procurado é
.