Determine:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}+3}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to \infty} \frac{2x^{2}+3}{x^{2}-1}.
Informações dadas:
  • É uma função racional, quociente de dois polinômios: numerador 2x^{2}+3 e denominador x^{2}-1.
  • O limite é tomado quando x tende a +\infty.

Passo 2

O que normalmente acontece com limites quando x \to \infty em funções racionais:
  • Se os graus dos polinômios no numerador e no denominador forem iguais, o limite no infinito é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
  • Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o limite tende a \pm\infty (dependendo dos sinais).
  • Se o grau do numerador for menor, o limite tende a 0.
Aqui os dois polinômios têm o mesmo grau: ambos são de grau 2. Então, pela regra acima, o limite será a razão dos coeficientes dos termos x^{2}, ou seja 2 sobre 1. Vou mostrar isso de forma rigorosa dividindo tudo por x^{2}.

Passo 3

Técnica: dividir numerador e denominador pelo maior poder de x presente (aqui x^{2}). Isso simplifica cada termo para formas que convergem facilmente quando x \to \infty.
Aplicando a divisão:
\frac{2x^{2}+3}{x^{2}-1} = \frac{\dfrac{2x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{3}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 4

Simplificando cada fração dentro:
\frac{2x^{2}+3}{x^{2}-1} = \frac{2+\dfrac{3}{x^{2}}}{1-\dfrac{1}{x^{2}}}.
Agora observe o comportamento dos termos que têm x no denominador quando x \to \infty.

Passo 5

Fatos limites básicos que usaremos:
  • \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x^{2}} = 0.
  • Portanto \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3}{x^{2}} = 0 e \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x^{2}} = 0.
Usando isso no numerador e denominador obtidos no passo anterior, temos:
\lim_{x \to \infty} \frac{2+\dfrac{3}{x^{2}}}{1-\dfrac{1}{x^{2}}} = \frac{2+0}{1-0}.

Passo 6

Concluindo a conta:
\frac{2+0}{1-0}= \frac{2}{1}=2.
Portanto o limite procurado é 2.

Resposta

2

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