Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- O numerador é a expressão
. - O denominador é
, que é o quadrado da diferença em relação a . - A função não está definida em
(divisão por zero), por isso avaliamos o comportamento quando se aproxima de , não o valor em .
Passo 2
Vamos ver o que acontece separadamente com numerador e denominador quando
.
O numerador tende a
O denominador tende a
Portanto temos uma forma do tipo “número finito distinto de zero dividido por algo que vai para zero”. Isso indica que o quociente tende a infinito em módulo; o sinal depende do sinal do numerador e do denominador próximos de
.
Passo 3
Analisando o sinal perto de
:
-
O denominador
é sempre não negativo e, para , é estritamente positivo. Logo, ao aproximar-se de por qualquer lado, o denominador é positivo e tende a . -
O numerador
é contínuo e tem valor em . Isso significa que existe uma vizinhança de onde o numerador permanece positivo. Por exemplo, se tomarmos então e
Logo para
suficientemente próximo de
(mas diferente de
) temos numerador positivo e denominador positivo, então o quociente é positivo.
Passo 4
Intuição: numerador tende para
e denominador tende para
. Assim a fração tende para
. Para ficar bem claro, apresento um argumento do tipo "dado
, existe
tal que, se
, então
".
Seja
. Escolha
tal que
(isso garante
conforme o passo anterior) e tal que
Isto é, escolha
.
Para
temos:
mas podemos melhorar a constante: como
então
. Além disso, para tal
,
se tomarmos
. Podemos ajustar a escolha de
para garantir também
; por simplicidade, tome
Então, para
vale
e
. Assim
Isso mostra que para qualquer
existe
com a propriedade desejada, ou seja, a expressão cresce sem limite positivo quando
.
Passo 5
Conclusão: o limite diverge para mais infinito; mais precisamente, tanto pela direita quanto pela esquerda o valor da fração tende a
. Portanto