Calcule \lim _{x \rightarrow 1} \frac{3 x-2}{(x-1)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{3x-2}{(x-1)^{2}}.
Informações dadas:
  • O numerador é a expressão (3x-2).
  • O denominador é (x-1)^{2}, que é o quadrado da diferença em relação a 1.
  • A função não está definida em x=1 (divisão por zero), por isso avaliamos o comportamento quando x se aproxima de 1, não o valor em 1.

Passo 2

Vamos ver o que acontece separadamente com numerador e denominador quando x\to 1.
O numerador tende a
\lim_{x\to 1}(3x-2)=3\cdot 1-2=1.
O denominador tende a
\lim_{x\to 1}(x-1)^{2}=0.
Portanto temos uma forma do tipo “número finito distinto de zero dividido por algo que vai para zero”. Isso indica que o quociente tende a infinito em módulo; o sinal depende do sinal do numerador e do denominador próximos de x=1.

Passo 3

Analisando o sinal perto de x=1:
  • O denominador (x-1)^{2} é sempre não negativo e, para x\neq 1, é estritamente positivo. Logo, ao aproximar-se de 1 por qualquer lado, o denominador é positivo e tende a 0^{+}.
  • O numerador (3x-2) é contínuo e tem valor 1 em x=1. Isso significa que existe uma vizinhança de x=1 onde o numerador permanece positivo. Por exemplo, se tomarmos |x-1|<\tfrac{1}{3} então |3(x-1)|<1 e
3x-2 = 1+3(x-1) > 1-1 = 0.
Logo para x suficientemente próximo de 1 (mas diferente de 1) temos numerador positivo e denominador positivo, então o quociente é positivo.

Passo 4

Intuição: numerador tende para 1>0 e denominador tende para 0^{+}. Assim a fração tende para +\infty. Para ficar bem claro, apresento um argumento do tipo "dado M>0, existe \delta>0 tal que, se 0<|x-1|<\delta, então \dfrac{3x-2}{(x-1)^{2}}>M".
Seja M>0. Escolha \delta tal que 0<\delta<\tfrac{1}{3} (isso garante 3x-2>0 conforme o passo anterior) e tal que
\delta^{2}<\frac{1}{2M}.
Isto é, escolha \delta=\min\!\left\{\tfrac{1}{3},\sqrt{\tfrac{1}{2M}}\right\}.
Para 0<|x-1|<\delta temos:
3x-2 = 1+3(x-1) > 1-3|x-1| > 1-3\delta \ge 1-3\cdot\frac{1}{3}=0,
mas podemos melhorar a constante: como \delta<\tfrac{1}{3} então 3x-2>0. Além disso, para tal \delta,
3x-2 = 1+3(x-1) > 1 - 3\delta \ge \tfrac{1}{2}
se tomarmos \delta\le \tfrac{1}{6}. Podemos ajustar a escolha de \delta para garantir também 3x-2>\tfrac{1}{2}; por simplicidade, tome
\delta=\min\!\left\{\tfrac{1}{6},\sqrt{\tfrac{1}{2M}}\right\}.
Então, para 0<|x-1|<\delta vale 3x-2>\tfrac{1}{2} e (x-1)^{2}<\tfrac{1}{2M}. Assim
\frac{3x-2}{(x-1)^{2}} > \frac{\tfrac{1}{2}}{(x-1)^{2}} > \frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2M}} = M.
Isso mostra que para qualquer M>0 existe \delta>0 com a propriedade desejada, ou seja, a expressão cresce sem limite positivo quando x\to 1.

Passo 5

Conclusão: o limite diverge para mais infinito; mais precisamente, tanto pela direita quanto pela esquerda o valor da fração tende a +\infty. Portanto

Resposta

+\infty

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