Considere a função f(x, y)=3 x^{2}+2 y. Calcule a derivada direcional de f no ponto (1,2) na direção do vetor \mathbf{v}=(2,1).

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dado: a função f(x,y)=3x^{2}+2y.
  • Dado: o ponto onde se calcula a derivada direcional é (1,2).
  • Dado: a direção é dada pelo vetor \mathbf{v}=(2,1).
  • Pedido: calcular a derivada direcional de f no ponto (1,2) na direção de \mathbf{v}.

Passo 2

O que é a derivada direcional e qual fórmula usar (explicação didática):
  • Intuição: a derivada direcional mede a taxa de variação de f quando nos deslocamos a partir do ponto dado na direção escolhida. É como perguntar “se eu ando um passinho pequenino naquela direção, quanto f muda por unidade de deslocamento?”.
  • Fórmula prática (a que usamos em provas): se \nabla f é o gradiente de f e \mathbf{u} é o vetor unitário que aponta na direção desejada, então a derivada direcional de f no ponto P na direção \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
  • O gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais: \nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y).
  • Importante: deve-se usar o vetor unitário \mathbf{u}. Se derem um vetor \mathbf{v} qualquer, primeiro normalize: \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}, onde \|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}}.
  • Justificação rápida (sem formalidades): considere a função de uma variável g(t)=f\big(P+t\mathbf{u}\big). Pela regra da cadeia, g'(0)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}. Esse g'(0) é precisamente a derivada direcional.

Passo 3

Calcular o gradiente de f (passo a passo das derivadas parciais):
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{2}+2y\big)=6x,
pois 2y é constante em relação a x.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}+2y\big)=2,
pois 3x^{2} é constante em relação a y e a derivada de 2y é 2.
Logo,
\nabla f(x,y)=(6x,\;2).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (1,2):
Substituir x=1 em \nabla f:
\nabla f(1,2)=(6\cdot 1,\;2)=(6,\;2).

Passo 5

Normalizar o vetor de direção \mathbf{v}=(2,1) para obter o vetor unitário \mathbf{u}:
  • Norma de \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
  • Vetor unitário:
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\;\frac{1}{\sqrt{5}}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional usando o produto escalar:
  • Produto escalar \nabla f(1,2)\cdot\mathbf{u}:
\nabla f(1,2)\cdot\mathbf{u}=(6,\;2)\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\;\frac{1}{\sqrt{5}}\right) =6\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}+2\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}.
  • Somando os termos:
6\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}+2\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{12}{\sqrt{5}}+\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{14}{\sqrt{5}}.
Portanto a derivada direcional pedida é \dfrac{14}{\sqrt{5}}.

Resposta

\dfrac{14}{\sqrt{5}}

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