Considere a função
. Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Dado: a função
. - Dado: o ponto onde se calcula a derivada direcional é
. - Dado: a direção é dada pelo vetor
. - Pedido: calcular a derivada direcional de
no ponto na direção de .
Passo 2
O que é a derivada direcional e qual fórmula usar (explicação didática):
- Intuição: a derivada direcional mede a taxa de variação de
quando nos deslocamos a partir do ponto dado na direção escolhida. É como perguntar “se eu ando um passinho pequenino naquela direção, quanto muda por unidade de deslocamento?”. - Fórmula prática (a que usamos em provas): se
é o gradiente de e é o vetor unitário que aponta na direção desejada, então a derivada direcional de no ponto na direção é
- O gradiente
é o vetor das derivadas parciais: . - Importante: deve-se usar o vetor unitário
. Se derem um vetor qualquer, primeiro normalize: , onde . - Justificação rápida (sem formalidades): considere a função de uma variável
. Pela regra da cadeia, . Esse é precisamente a derivada direcional.
Passo 3
Calcular o gradiente de
(passo a passo das derivadas parciais):
- Derivada parcial em relação a
:
pois
é constante em relação a
.
- Derivada parcial em relação a
:
pois
é constante em relação a
e a derivada de
é
.
Logo,
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
:
Substituir
em
:
Passo 5
Normalizar o vetor de direção
para obter o vetor unitário
:
- Norma de
:
- Vetor unitário:
Passo 6
Calcular a derivada direcional usando o produto escalar:
- Produto escalar
:
- Somando os termos:
Portanto a derivada direcional pedida é
.