Se 0<a<b<c, Justifique, através de áreas, que:
\int_{a}^{b} x d x=\frac{b^{2}-a^{2}}{2}

Passo 1

O enunciado pede para justificar, via interpretação por áreas, que
\int_{a}^{b} x\,dx = \frac{b^2 - a^2}{2}
onde 0<a<b<c. Aqui o conteúdo é a definição de integral definida como área sob a curva y=x, e vamos usar a área de triângulos para calcular essa integral.

Passo 2

Primeiro, considere a área sob a reta y=x entre x=0 e x=b. Como o gráfico de y=x de 0 a b é um triângulo retângulo de base b e altura f(b)=b, sua área A_{0b} é
A_{0b} = \frac{\text{base}\times \text{altura}}{2} = \frac{b\cdot b}{2} = \frac{b^2}{2}.

Passo 3

De modo análogo, a área sob a reta y=x entre x=0 e x=a é um triângulo retângulo de base a e altura f(a)=a. Logo,
A_{0a} = \frac{a\cdot a}{2} = \frac{a^2}{2}.

Passo 4

A integral de a até b é justamente a área entre x=a e x=b, ou seja, a diferença entre A_{0b} e A_{0a}. Portanto,
\int_{a}^{b} x\,dx = A_{0b} - A_{0a} = \frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2} = \frac{b^2 - a^2}{2}.

Resposta

\int_{a}^{b} x\,dx = \frac{b^2 - a^2}{2}.

Exercícios relacionados