Use primitivação para achar a posição s(t) de uma partícula que possui aceleração dada por a(t)=6 t+ 2, \operatorname{com} s(0)=v(0)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a aceleração \,a(t)=6t+2, de uma partícula e as condições iniciais \,s(0)=1, e \,v(0)=1. Vamos usar primitivação duas vezes: primeiro para obter a velocidade v(t) e depois para obter a posição s(t).

Passo 2

Integrar a(t):
v(t)=\int a(t)\,dt=\int(6t+2)\,dt=3t^2+2t+C_1.
Aplicando a condição v(0)=1 temos
3\cdot0^2+2\cdot0+C_1=1\quad\Longrightarrow\quad C_1=1,
portanto
v(t)=3t^2+2t+1.

Passo 3

Integrar v(t):
s(t)=\int v(t)\,dt=\int(3t^2+2t+1)\,dt=t^3+t^2+t+C_2.
Aplicando s(0)=1 obtemos
0+0+0+C_2=1\quad\Longrightarrow\quad C_2=1,
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s(t)=t^3+t^2+t+1.

Resposta

s(t)=t^3+t^2+t+1.

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