Calcule
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{3}+3 x^{2} \cos x}{(x+2)^{3}}.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{3}+3x^{2}\cos x}{(x+2)^{3}}.
O conteúdo é limites de funções racionais com termo oscilatório. Vamos usar divisão pelo maior grau em x e o comportamento assintótico de \cos x.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por x^{3}:
\frac{2x^{3}+3x^{2}\cos x}{(x+2)^{3}} =\frac{x^{3}\Bigl(2+\frac{3\cos x}{x}\Bigr)}{x^{3}\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr)^{3}} =\frac{2+\frac{3\cos x}{x}}{\bigl(1+\frac{2}{x}\bigr)^{3}}.

Passo 3

Como \cos x está sempre entre -1 e 1, temos
-\,\frac{3}{x}\le \frac{3\cos x}{x}\le \frac{3}{x},
e como \frac{3}{x}\to0 quando x\to\infty, pelo Teorema do Aperto
\frac{3\cos x}{x}\;\longrightarrow\;0.
Logo o numerador 2+\frac{3\cos x}{x}\to2.

Passo 4

No denominador,
\Bigl(1+\tfrac{2}{x}\Bigr)^{3}\longrightarrow1^{3}=1 \quad\text{quando }x\to\infty.
Portanto a razão tende a
\frac{2}{1}=2.

Resposta

2

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