Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5 x^{3}+7 x-3}{3 x^{4}+7 x-1}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x \to +\infty}\frac{5x^{3}+7x-3}{3x^{4}+7x-1}
Estamos trabalhando com limites no infinito de funções racionais (quociente de polinômios). Para avaliar, vamos comparar os graus (ordens) do numerador e do denominador.

Passo 2

Observe que o numerador é um polinômio de grau 3 e o denominador é de grau 4. Em limites no infinito, o termo de maior grau domina o comportamento de cada polinômio. Como o grau do denominador é maior, espera-se que a fração tenda a zero.

Passo 3

Para ver isso formalmente, dividimos numerador e denominador por x^4, a maior potência presente:
\frac{5x^{3}+7x-3}{3x^{4}+7x-1} =\frac{\frac{5x^{3}}{x^4}+\frac{7x}{x^4}-\frac{3}{x^4}}{\frac{3x^{4}}{x^4}+\frac{7x}{x^4}-\frac{1}{x^4}} =\frac{\frac{5}{x}+\frac{7}{x^3}-\frac{3}{x^4}}{3+\frac{7}{x^3}-\frac{1}{x^4}}.

Passo 4

Agora, ao fazer x \to +\infty, todos os termos do tipo \frac{1}{x^k} vão a zero. Logo
\frac{5/x+7/x^3-3/x^4}{3+7/x^3-1/x^4} \longrightarrow\frac{0+0-0}{3+0-0} =\frac{0}{3} =0.

Resposta

0

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