Calcule:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A variável
tende para pela direita ( ). - A função é
, onde é a tangente de .
O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Transformação útil: escrever a expressão como exponencial usando logaritmo. Para
podemos reescrever
Explicação didática: a função exponencial
é contínua, então o limite da expressão será
do limite do expoente, desde que esse limite exista (ou seja, podemos passar o limite para dentro da exponencial). Assim basta calcular
O limite pedido será então
.
Passo 3
Analisar o expoente
. Escreve-se
Agora vamos estudar as duas parcelas que aparecem:
- Limite de
quando .
Usa-se a identidade
, portanto
Conhecemos dois limites básicos:
logo
. Pelo produto de limites vem
Breve justificativa do
: é um limite padrão em cálculo que pode ser mostrado geometricamente ou por séries; aqui o fato é usado como ferramenta fundamental.
- Limite de
quando .
Faz a substituição
. Quando
temos
. Então
Agora usamos que
. Uma justificativa rápida: aplicando a regra de L’Hôpital em
(forma
) obtemos
Portanto
. Observe o sinal: para
pequeno,
é negativo, então
tende a
por valores negativos, mas o limite numérico é
.
Passo 4
Combinar os resultados: temos
e
. Assim
Portanto o expoente da exponencial tende a
.
Passo 5
Voltando à expressão original escrita como exponencial:
Como o expoente tende a
, pela continuidade da exponencial obtemos