Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x^{\operatorname{tg}(x)}}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{1}{x^{\operatorname{tg}(x)}}.
Informações dadas:
  • A variável x tende para 0 pela direita ( x\to0^{+}).
  • A função é x \mapsto \dfrac{1}{x^{\operatorname{tg}(x)}}, onde \operatorname{tg}(x) é a tangente de x.
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Transformação útil: escrever a expressão como exponencial usando logaritmo. Para x>0 podemos reescrever
\frac{1}{x^{\operatorname{tg}(x)}} = x^{-\operatorname{tg}(x)} = \exp\bigl(-\operatorname{tg}(x)\,\ln x\bigr).
Explicação didática: a função exponencial \exp(u) é contínua, então o limite da expressão será \exp do limite do expoente, desde que esse limite exista (ou seja, podemos passar o limite para dentro da exponencial). Assim basta calcular
L := \lim_{x\to0^{+}} \bigl(-\operatorname{tg}(x)\,\ln x\bigr).
O limite pedido será então \exp(L).

Passo 3

Analisar o expoente -\operatorname{tg}(x)\,\ln x. Escreve-se
-\operatorname{tg}(x)\,\ln x = -\frac{\operatorname{tg}(x)}{x}\cdot \bigl(x\ln x\bigr).
Agora vamos estudar as duas parcelas que aparecem:
  1. Limite de \dfrac{\operatorname{tg}(x)}{x} quando x\to0.
Usa-se a identidade \operatorname{tg}(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}, portanto
\frac{\operatorname{tg}(x)}{x} = \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}.
Conhecemos dois limites básicos:
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to0}\cos x = 1,
logo \lim_{x\to0}\dfrac{1}{\cos x}=1. Pelo produto de limites vem
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}(x)}{x}=1.
Breve justificativa do \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1: é um limite padrão em cálculo que pode ser mostrado geometricamente ou por séries; aqui o fato é usado como ferramenta fundamental.
  1. Limite de x\ln x quando x\to0^{+}.
Faz a substituição t=\dfrac{1}{x}. Quando x\to0^{+} temos t\to+\infty. Então
x\ln x = \frac{1}{t}\ln\!\left(\frac{1}{t}\right) = -\frac{\ln t}{t}.
Agora usamos que \lim_{t\to\infty}\dfrac{\ln t}{t}=0. Uma justificativa rápida: aplicando a regra de L’Hôpital em \lim_{t\to\infty}\dfrac{\ln t}{t} (forma \infty/\infty) obtemos
\lim_{t\to\infty}\frac{\ln t}{t} = \lim_{t\to\infty}\frac{1/t}{1} = \lim_{t\to\infty}\frac{1}{t} = 0.
Portanto \lim_{x\to0^{+}} x\ln x = 0. Observe o sinal: para x pequeno, \ln x é negativo, então x\ln x tende a 0 por valores negativos, mas o limite numérico é 0.

Passo 4

Combinar os resultados: temos \dfrac{\operatorname{tg}(x)}{x}\to1 e x\ln x\to0. Assim
\lim_{x\to0^{+}}\bigl(-\operatorname{tg}(x)\,\ln x\bigr) = -\left(\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}(x)}{x}\right)\cdot\left(\lim_{x\to0^{+}} x\ln x\right) = -1\cdot 0 = 0.
Portanto o expoente da exponencial tende a 0.

Passo 5

Voltando à expressão original escrita como exponencial:
\frac{1}{x^{\operatorname{tg}(x)}} = \exp\bigl(-\operatorname{tg}(x)\,\ln x\bigr).
Como o expoente tende a 0, pela continuidade da exponencial obtemos
\lim_{x\to0^{+}} \frac{1}{x^{\operatorname{tg}(x)}} = \exp(0) = 1.

Resposta

1

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