Calcule:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função dentro do limite é a função racional
. - O ponto de interesse é
.
A pergunta é: qual é o valor desse limite quandotende a ?
Passo 2
Ideia para resolver (conceito importante): polinômios são funções contínuas em todo ponto e, portanto, podem ser avaliados por substituição direta. Uma função racional
(onde
e
são polinômios) é contínua em qualquer ponto onde o denominador não seja zero, isto é, em qualquer
tal que
. Nesse caso o limite
existe e vale
.
Observação prática: se ao substituir
obtivermos uma forma indeterminada
, então não podemos usar substituição direta e devemos tentar fatorar, cancelar fatores, ou usar outras técnicas (como regra de L’Hôpital). Aqui primeiro vamos verificar se a substituição direta é válida computando
.
Passo 3
Calcular o denominador em
:
Como
, a função racional é contínua em
. Logo podemos usar substituição direta no limite.
Passo 4
Calcular o numerador em
:
Portanto, pelo argumento da continuidade,
Passo 5
Método alternativo (útil para aprender): fatorar as expressões para ver comportamentos típicos.
Fatora-se o numerador e o denominador:
Fatora-se o numerador e o denominador:
Para
pode-se simplificar:
Avaliar essa expressão em
dá
mesma resposta. Nota: a simplificação exige
, mas como estamos calculando o limite em
isso é perfeitamente válido.
Passo 6
Resumo didático e dica para prova: sempre que for limite de uma função racional em
,
- calcule
. Se , o limite é (substituição direta). - se
e , tente fatorar e cancelar fatores comuns ou aplique regra de L’Hôpital se apropriado.
Força aí — esse tipo de limite é dos mais comuns e você já tem o procedimento claro: verificar denominador e substituir, ou fatorar se der.