Calcule:
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-4 x+4}{x^{2}-x-2}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-4x+4}{x^{2}-x-2}.
Informações dadas:
  • A função dentro do limite é a função racional \dfrac{x^{2}-4x+4}{x^{2}-x-2}.
  • O ponto de interesse é x=3.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite quando x tende a 3?

Passo 2

Ideia para resolver (conceito importante): polinômios são funções contínuas em todo ponto e, portanto, podem ser avaliados por substituição direta. Uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} (onde P e Q são polinômios) é contínua em qualquer ponto onde o denominador não seja zero, isto é, em qualquer a tal que Q(a)\neq 0. Nesse caso o limite \lim_{x\to a}\dfrac{P(x)}{Q(x)} existe e vale \dfrac{P(a)}{Q(a)}.
Observação prática: se ao substituir x=a obtivermos uma forma indeterminada \dfrac{0}{0}, então não podemos usar substituição direta e devemos tentar fatorar, cancelar fatores, ou usar outras técnicas (como regra de L’Hôpital). Aqui primeiro vamos verificar se a substituição direta é válida computando Q(3).

Passo 3

Calcular o denominador em x=3:
x^{2}-x-2 \quad\text{em}\quad x=3:
3^{2}-3-2 = 9-3-2 = 4.
Como 4\neq 0, a função racional é contínua em x=3. Logo podemos usar substituição direta no limite.

Passo 4

Calcular o numerador em x=3:
x^{2}-4x+4 \quad\text{em}\quad x=3:
3^{2}-4\cdot 3+4 = 9-12+4 = 1.
Portanto, pelo argumento da continuidade,
\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-4x+4}{x^{2}-x-2}=\frac{1}{4}.

Passo 5

Método alternativo (útil para aprender): fatorar as expressões para ver comportamentos típicos.
Fatora-se o numerador e o denominador:
x^{2}-4x+4=(x-2)^{2},\qquad x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Para x\neq 2 pode-se simplificar:
\frac{(x-2)^{2}}{(x-2)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}.
Avaliar essa expressão em x=3
\frac{3-2}{3+1}=\frac{1}{4},
mesma resposta. Nota: a simplificação exige x\neq 2, mas como estamos calculando o limite em x=3 isso é perfeitamente válido.

Passo 6

Resumo didático e dica para prova: sempre que for limite de uma função racional em x=a,
  • calcule Q(a). Se Q(a)\neq 0, o limite é P(a)/Q(a) (substituição direta).
  • se Q(a)=0 e P(a)=0, tente fatorar e cancelar fatores comuns ou aplique regra de L’Hôpital se apropriado.
    Força aí — esse tipo de limite é dos mais comuns e você já tem o procedimento claro: verificar denominador e substituir, ou fatorar se der 0/0.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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