Se
com
e
verifique que:
Se
,
possui um máximo local em
.
Se
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
com
e
. Vou considerar o domínio natural desta função como
(assim
está bem definida para expoente real).
O que se pede: verificar que, se , então
possui um máximo local em
. Vou listar também o que temos de informação útil:
O que se pede: verificar que, se
- parâmetro:
com ; - função:
; - ponto candidato a extremo:
(apontado no enunciado).
Passo 2
Vamos achar os pontos críticos calculando a derivada de
. Primeiro explicando a regra que vamos usar: a regra do poder diz que, para todo real
, a derivada de
(em
) é
. A derivada de uma constante multiplicada por
é a constante. Aplicando isso:
Factorizando:
Passo 3
Para encontrar pontos críticos igualamos a derivada a zero. Como
, dividir por
é permitido, então
Como estamos no domínio
, a equação
tem solução
. Portanto
é o único ponto crítico no domínio.
Passo 4
Agora usamos a segunda derivada para determinar se em
temos máximo ou mínimo. Derivando
obtemos
Explicando o sinal: para todo
tem-se
. Se além disso
, então
e
, de modo que o produto
é negativo. Portanto, para todo
(e em particular em
),
Pela teste da segunda derivada: se
num ponto crítico
, então
tem um máximo local em
. Assim concluímos que, quando
,
é ponto de máximo local de
.
Passo 5
Complemento (intuitivo e útil na prova): como
a função
é côncava em
. Subtrair a função linear
mantém a concavidade, então
é côncava e portanto qualquer ponto crítico é um máximo global no intervalo (aqui verificamos que o ponto crítico é
). Também pode-se avaliar o valor do máximo:
.