Se f(x)=x^{p} p x com p>0 e p \neq 1 verifique que:
Se 0<p<1, f possui um máximo local em x=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f definida por
f(x)=x^{p}-p x
com p>0 e p\neq1. Vou considerar o domínio natural desta função como (0,\infty) (assim x^{p} está bem definida para expoente real).
O que se pede: verificar que, se 0<p<1, então f possui um máximo local em x=1. Vou listar também o que temos de informação útil:
  • parâmetro: p com 0<p<1;
  • função: f(x)=x^{p}-p x;
  • ponto candidato a extremo: x=1 (apontado no enunciado).

Passo 2

Vamos achar os pontos críticos calculando a derivada de f. Primeiro explicando a regra que vamos usar: a regra do poder diz que, para todo real p, a derivada de x^{p} (em x>0) é p x^{p-1}. A derivada de uma constante multiplicada por x é a constante. Aplicando isso:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{p}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(p x\bigr)=p x^{p-1}-p.
Factorizando:
f'(x)=p\bigl(x^{p-1}-1\bigr).

Passo 3

Para encontrar pontos críticos igualamos a derivada a zero. Como p>0, dividir por p é permitido, então
f'(x)=0 \iff x^{p-1}-1=0 \iff x^{p-1}=1.
Como estamos no domínio x>0, a equação x^{p-1}=1 tem solução x=1. Portanto x=1 é o único ponto crítico no domínio.

Passo 4

Agora usamos a segunda derivada para determinar se em x=1 temos máximo ou mínimo. Derivando f'(x)=p x^{p-1}-p obtemos
f''(x)=p(p-1)x^{p-2}.
Explicando o sinal: para todo x>0 tem-se x^{p-2}>0. Se além disso 0<p<1, então p>0 e (p-1)<0, de modo que o produto p(p-1) é negativo. Portanto, para todo x>0 (e em particular em x=1),
f''(1)=p(p-1)<0.
Pela teste da segunda derivada: se f''\text{(c)}<0 num ponto crítico c, então f tem um máximo local em c. Assim concluímos que, quando 0<p<1, x=1 é ponto de máximo local de f.

Passo 5

Complemento (intuitivo e útil na prova): como 0<p<1 a função x\mapsto x^{p} é côncava em (0,\infty). Subtrair a função linear p x mantém a concavidade, então f é côncava e portanto qualquer ponto crítico é um máximo global no intervalo (aqui verificamos que o ponto crítico é x=1). Também pode-se avaliar o valor do máximo: f(1)=1-p.

Resposta

x=1 é um ponto de máximo local de f quando 0<p<1.

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