Se f(x)=a x^{2}+b x+c, use o teste da derivada segunda para mostrar que se a<0 então f possui um ponto de máximo local. O que ocorre quando a>0 ?

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática f(x)=a x^{2}+b x+c com a\neq 0 (caso contrário não seria quadrática). Pede-se:
  • Usar o teste da derivada segunda para mostrar que, se a<0, então f possui um ponto de máximo local.
  • Dizer o que ocorre quando a>0.
    As informações relevantes são os coeficientes a, b, c e a definição explícita de f(x).

Passo 2

Vamos lembrar o que é o teste da derivada segunda, de forma simples e direta:
  • Um ponto crítico x_0 de f é um ponto onde f'(x_0)=0.
  • O teste da derivada segunda diz que, se f''(x_0)<0 então x_0 é ponto de máximo local; se f''(x_0)>0 então x_0 é ponto de mínimo local. A razão intuitiva é que f'' mede a curvatura: f''<0 significa que a concavidade é para baixo (forma de “cúpula”), então o crítico é um pico; f''>0 significa concavidade para cima (forma de “bacia”), então o crítico é um vale.

Passo 3

Calculamos as derivadas de f. A derivada primeira é a inclinação instantânea da função:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(a x^{2}+b x+c\big)=2a x + b.
A derivada segunda é a derivada da derivada primeira:
f''(x)=\frac{d}{dx}\big(2a x + b\big)=2a.
Observação importante: para uma função quadrática a derivada segunda é constante, igual a 2a, independente de x.

Passo 4

Encontre o ponto crítico resolvendo f'(x)=0:
2a x + b = 0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{b}{2a}.
Esse é o único ponto crítico da quadrática (faz sentido: um polinômio de grau 2 tem na primeira derivada um polinômio de grau 1, portanto uma única raiz).

Passo 5

Aplique o teste da derivada segunda no ponto crítico x_0=-\dfrac{b}{2a}. Como f''(x) é constante,
f''(x_0)=2a.
Agora analisa-se o sinal de 2a:
  • Se a<0 então 2a<0. Pelo teste da derivada segunda, x_0 é ponto de máximo local.
  • Se a>0 então 2a>0. Pelo teste da derivada segunda, x_0 é ponto de mínimo local.

Passo 6

Para ficar mais concreto, também podemos escrever as coordenadas do vértice (o ponto crítico) e o valor extremo:
  • Abscissa do vértice: x_0=-\dfrac{b}{2a}.
  • Valor de f no vértice:
f\big(-\tfrac{b}{2a}\big)=c-\frac{b^{2}}{4a}.
Observação sobre o sinal: quando a<0 esse valor é o máximo global da parábola (como a parábola abre para baixo), e quando a>0 é o mínimo global (como a parábola abre para cima). Em quadráticas a distinção local/global coincide porque há só um extremo.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar (só para sentir o caso):
  • Se f(x)=-x^{2} ( a=-1,b=0,c=0) então x_0=0, f''(0)=2a=-2<0 e 0 é máximo local (na verdade máximo global).
  • Se f(x)=x^{2} ( a=1,b=0,c=0) então x_0=0, f''(0)=2>0 e 0 é mínimo local (e também mínimo global).

Resposta

Se a<0: f tem um ponto de máximo local (e global) em x=-\dfrac{b}{2a}, com valor f\big(-\dfrac{b}{2a}\big)=c-\dfrac{b^{2}}{4a}.\n
Se a>0: f tem um ponto de mínimo local (e global) em x=-\dfrac{b}{2a}, com valor f\big(-\dfrac{b}{2a}\big)=c-\dfrac{b^{2}}{4a}.

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