Se
, use o teste da derivada segunda para mostrar que se
então
possui um ponto de máximo local. O que ocorre quando
?
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
com
(caso contrário não seria quadrática). Pede-se:
- Usar o teste da derivada segunda para mostrar que, se
, então possui um ponto de máximo local. - Dizer o que ocorre quando
.
As informações relevantes são os coeficientes, , e a definição explícita de .
Passo 2
Vamos lembrar o que é o teste da derivada segunda, de forma simples e direta:
- Um ponto crítico
de é um ponto onde . - O teste da derivada segunda diz que, se
então é ponto de máximo local; se então é ponto de mínimo local. A razão intuitiva é que mede a curvatura: significa que a concavidade é para baixo (forma de “cúpula”), então o crítico é um pico; significa concavidade para cima (forma de “bacia”), então o crítico é um vale.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
. A derivada primeira é a inclinação instantânea da função:
A derivada segunda é a derivada da derivada primeira:
Observação importante: para uma função quadrática a derivada segunda é constante, igual a
, independente de
.
Passo 4
Encontre o ponto crítico resolvendo
:
Esse é o único ponto crítico da quadrática (faz sentido: um polinômio de grau 2 tem na primeira derivada um polinômio de grau 1, portanto uma única raiz).
Passo 5
Aplique o teste da derivada segunda no ponto crítico
. Como
é constante,
Agora analisa-se o sinal de
:
- Se
então . Pelo teste da derivada segunda, é ponto de máximo local. - Se
então . Pelo teste da derivada segunda, é ponto de mínimo local.
Passo 6
Para ficar mais concreto, também podemos escrever as coordenadas do vértice (o ponto crítico) e o valor extremo:
- Abscissa do vértice:
. - Valor de
no vértice:
Observação sobre o sinal: quando
esse valor é o máximo global da parábola (como a parábola abre para baixo), e quando
é o mínimo global (como a parábola abre para cima). Em quadráticas a distinção local/global coincide porque há só um extremo.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar (só para sentir o caso):
- Se
( ) então , e é máximo local (na verdade máximo global). - Se
( ) então , e é mínimo local (e também mínimo global).
Resposta
Se
:
tem um ponto de máximo local (e global) em
, com valor
.\n
Se :
tem um ponto de mínimo local (e global) em
, com valor
.
Se