Calcule:
Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão a ser avaliada é
. - O ponto de interesse é
.
Observação útil (apenas identificando uma característica da expressão): se fizermos substituição direta em
obtemos numerador
e denominador
, ou seja, forma indeterminada
. Isso indica que precisamos manipular a expressão antes de concluir o valor do limite.
Passo 2
Entendendo a ideia: quando a substituição direta dá
, geralmente podemos simplificar a expressão algébrica (fatorando, cancelando fatores comuns, racionalizando, etc.) para remover a causa da indeterminação e então calcular o limite. Aqui o numerador é um quadrado subtraindo 1, então fatorar ou expandir o quadrado é um caminho natural.
Rápida explicação sobre indeterminação
:
-
indica que tanto numerador quanto denominador vão a zero; o limite pode existir e ser qualquer número finito (ou infinito) dependendo da taxa com que numerador e denominador tendem a zero. - A técnica comum é simplificar a expressão para eliminar o fator que produz o zero no denominador.
Passo 3
Expandir o quadrado e simplificar o numerador. Primeiro desenvolvemos
:
Subtraindo 1, obtemos
Agora fatoramos o numerador:
Passo 4
Usar a fatoração para simplificar a fração (válido para
; para o limite interessa o comportamento quando
se aproxima de
, não o valor exatamente em
):
Justificativa da troca: se duas funções coincidem em todo um vizinhança de
exceto possivelmente em
(aqui ambas são iguais para
), seus limites em
são iguais. Então podemos calcular
Passo 5
Calcular o limite da função simplificada. Polinômios são contínuos, então o limite ao aproximar
por
é simplesmente o valor da expressão em
:
Comentário extra (para fixar a ideia): essa expressão original é também um quociente de diferença que lembra a definição de derivada. Se fizermos
e
, então
quando
é
, que neste caso também dá
. Mas a conta algébrica por fatoração é suficiente e direta.