Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)^{2}-1}{x}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)^{2}-1}{x}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser avaliada é \dfrac{(x+1)^{2}-1}{x}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
Observação útil (apenas identificando uma característica da expressão): se fizermos substituição direta em x=0 obtemos numerador (0+1)^2-1=0 e denominador 0, ou seja, forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso indica que precisamos manipular a expressão antes de concluir o valor do limite.

Passo 2

Entendendo a ideia: quando a substituição direta dá \dfrac{0}{0}, geralmente podemos simplificar a expressão algébrica (fatorando, cancelando fatores comuns, racionalizando, etc.) para remover a causa da indeterminação e então calcular o limite. Aqui o numerador é um quadrado subtraindo 1, então fatorar ou expandir o quadrado é um caminho natural.
Rápida explicação sobre indeterminação \dfrac{0}{0}:
  • \dfrac{0}{0} indica que tanto numerador quanto denominador vão a zero; o limite pode existir e ser qualquer número finito (ou infinito) dependendo da taxa com que numerador e denominador tendem a zero.
  • A técnica comum é simplificar a expressão para eliminar o fator que produz o zero no denominador.

Passo 3

Expandir o quadrado e simplificar o numerador. Primeiro desenvolvemos (x+1)^2:
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1.
Subtraindo 1, obtemos
(x+1)^2 - 1 = x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 + 2x.
Agora fatoramos o numerador:
x^2 + 2x = x(x+2).

Passo 4

Usar a fatoração para simplificar a fração (válido para x\neq 0; para o limite interessa o comportamento quando x se aproxima de 0, não o valor exatamente em 0):
\frac{(x+1)^2 - 1}{x} = \frac{x(x+2)}{x} = x+2 \quad\text{para } x\neq 0.
Justificativa da troca: se duas funções coincidem em todo um vizinhança de 0 exceto possivelmente em 0 (aqui ambas são iguais para x\neq 0), seus limites em 0 são iguais. Então podemos calcular
\lim_{x\to 0} \frac{(x+1)^2 - 1}{x} = \lim_{x\to 0} (x+2).

Passo 5

Calcular o limite da função simplificada. Polinômios são contínuos, então o limite ao aproximar x por 0 é simplesmente o valor da expressão em 0:
\lim_{x\to 0} (x+2) = 0 + 2 = 2.
Comentário extra (para fixar a ideia): essa expressão original é também um quociente de diferença que lembra a definição de derivada. Se fizermos f(x)=(x+1)^2 e f(0)=1, então \dfrac{f(x)-f(0)}{x} quando x\to 0 é f'(0), que neste caso também dá 2. Mas a conta algébrica por fatoração é suficiente e direta.

Resposta

2

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