Determine os máximos e mínimos locais de
f(x)=x^{3}-3 x

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=x^{3}-3x
e pede que se determine os máximos e mínimos locais.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é a expressão polinomial \,f(x)=x^{3}-3x\,.
  • O domínio natural de uma função polinomial é todo o conjunto dos números reais (ou seja, não há restrições de domínio dadas).
    O que devemos entregar:
  • Os pontos x onde existem extremos locais (máximos ou mínimos locais).
  • A classificação desses pontos (máximo local ou mínimo local).
  • Os valores da função nesses pontos, isto é, f(x) nos pontos críticos encontrados.

Passo 2

Entendendo o que procurar (noções essenciais, passo a passo): para encontrar extremos locais de uma função suave como um polinômio, a ideia prática é buscar os pontos críticos, isto é, pontos onde a derivada é zero ou onde a derivada não existe. Aqui a derivada existe para todo x, pois f é polinomial, então procuramos onde a derivada é zero.
Primeiro calculemos a derivada. Lembra da regra do poder (power rule): se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}. Aplicando isso termo a termo:
f(x)=x^{3}-3x \quad\Rightarrow\quad f'(x)=3x^{2}-3.
Podemos fatorar a derivada para facilitar a resolução:
f'(x)=3\bigl(x^{2}-1\bigr)=3(x-1)(x+1).

Passo 3

Encontrar os pontos críticos: resolvemos f'(x)=0.
3(x-1)(x+1)=0
O fator 3 nunca é zero, então os zeros vêm de
x-1=0 \quad\text{ou}\quad x+1=0,
isto é,
x=1 \quad\text{e}\quad x=-1.
Portanto os pontos críticos são x=-1 e x=1.

Passo 4

Teste de segunda derivada (uma maneira rápida de classificar extremos): calcule a segunda derivada. A derivada de f'(x)=3x^{2}-3 é, por derivar termo a termo,
f''(x)=6x.
A regra do segundo teste é:
  • Se f''(x_0)>0 então f é localmente convexa em x_0 e x_0 é mínimo local.
  • Se f''(x_0)<0 então f é localmente côncava em x_0 e x_0 é máximo local.
  • Se f''(x_0)=0 o teste é inconclusivo.
Agora avaliamos em cada ponto crítico:
Para x=1:
f''(1)=6\cdot 1=6>0,
logo x=1 é um ponto de mínimo local.
Para x=-1:
f''(-1)=6\cdot(-1)=-6<0,
logo x=-1 é um ponto de máximo local.
Vou explicar intuitivamente: f''(x) mede a curvatura. Se a curvatura é positiva em um ponto, a curva está “em forma de tigela” ali (como um sorriso) e o ponto é mínimo; se é negativa, a curva está “em forma de teto” (como um triste) e o ponto é máximo.

Passo 5

Verificação alternativa via sinal de f' (primeiro teste) — útil para a prova se você preferir raciocínio com aumento/queda:
  • Para x<-1: escolha x=-2. Então f'(-2)=3\cdot(-2)^{2}-3=3\cdot4-3=9>0. A função está aumentando antes de x=-1.
  • Para -1<x<1: escolha x=0. Então f'(0)=3\cdot0^{2}-3=-3<0. A função está decrescendo entre -1 e 1.
  • Para x>1: escolha x=2. Então f'(2)=3\cdot4-3=9>0. A função está aumentando depois de x=1.
Interpretação: em x=-1 a função passa de aumentar para diminuir → máximo local. Em x=1 a função passa de diminuir para aumentar → mínimo local. Isso confirma o resultado do teste da segunda derivada.

Passo 6

Calcule os valores da função nesses pontos para dar as coordenadas dos extremos:
f(1)=1^{3}-3\cdot 1=1-3=-2,
f(-1)=(-1)^{3}-3\cdot(-1)=-1+3=2.
Portanto o ponto x=-1 corresponde a f(-1)=2 (máximo local) e o ponto x=1 corresponde a f(1)=-2 (mínimo local).
Observação final rápida e encorajadora: a gente encontrou os extremos locais; se a prova pedir extremos absolutos, lembre que uma função cúbica como esta tende a -\infty quando x\to -\infty e a +\infty quando x\to +\infty, então não há máximo absoluto nem mínimo absoluto sobre todo \mathbb{R} (apenas os extremos locais já encontrados). Você mandou bem chegando até aqui — falta pouco!

Resposta

Máximo local em x=-1 com valor f(-1)=2.
Mínimo local em x=1 com valor f(1)=-2.

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