Determine os máximos e mínimos locais de
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede que se determine os máximos e mínimos locais.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é a expressão polinomial
. - O domínio natural de uma função polinomial é todo o conjunto dos números reais (ou seja, não há restrições de domínio dadas).
O que devemos entregar: - Os pontos
onde existem extremos locais (máximos ou mínimos locais). - A classificação desses pontos (máximo local ou mínimo local).
- Os valores da função nesses pontos, isto é,
nos pontos críticos encontrados.
Passo 2
Entendendo o que procurar (noções essenciais, passo a passo): para encontrar extremos locais de uma função suave como um polinômio, a ideia prática é buscar os pontos críticos, isto é, pontos onde a derivada é zero ou onde a derivada não existe. Aqui a derivada existe para todo
, pois
é polinomial, então procuramos onde a derivada é zero.
Primeiro calculemos a derivada. Lembra da regra do poder (power rule): se
então
. Aplicando isso termo a termo:
Podemos fatorar a derivada para facilitar a resolução:
Passo 3
Encontrar os pontos críticos: resolvemos
.
O fator
nunca é zero, então os zeros vêm de
isto é,
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Teste de segunda derivada (uma maneira rápida de classificar extremos): calcule a segunda derivada. A derivada de
é, por derivar termo a termo,
A regra do segundo teste é:
- Se
então é localmente convexa em e é mínimo local. - Se
então é localmente côncava em e é máximo local. - Se
o teste é inconclusivo.
Agora avaliamos em cada ponto crítico:
Para
:
logo
é um ponto de mínimo local.
Para
:
logo
é um ponto de máximo local.
Vou explicar intuitivamente:
mede a curvatura. Se a curvatura é positiva em um ponto, a curva está “em forma de tigela” ali (como um sorriso) e o ponto é mínimo; se é negativa, a curva está “em forma de teto” (como um triste) e o ponto é máximo.
Passo 5
Verificação alternativa via sinal de
(primeiro teste) — útil para a prova se você preferir raciocínio com aumento/queda:
- Para
: escolha . Então . A função está aumentando antes de . - Para
: escolha . Então . A função está decrescendo entre e . - Para
: escolha . Então . A função está aumentando depois de .
Interpretação: em
a função passa de aumentar para diminuir → máximo local. Em
a função passa de diminuir para aumentar → mínimo local. Isso confirma o resultado do teste da segunda derivada.
Passo 6
Calcule os valores da função nesses pontos para dar as coordenadas dos extremos:
Portanto o ponto
corresponde a
(máximo local) e o ponto
corresponde a
(mínimo local).
Observação final rápida e encorajadora: a gente encontrou os extremos locais; se a prova pedir extremos absolutos, lembre que uma função cúbica como esta tende a
quando
e a
quando
, então não há máximo absoluto nem mínimo absoluto sobre todo
(apenas os extremos locais já encontrados). Você mandou bem chegando até aqui — falta pouco!
Resposta
Máximo local em
com valor
Mínimo local em com valor
Mínimo local em