Encontre a derivada de:
f(x)=x^{4}-6 x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{4}-6 x^{2}
e pede que se encontre a derivada de f, isto é, a função derivada f'(x). Informação importante fornecida: os dois termos são potências de x (graus 4 e 2) e há um coeficiente constante -6 multiplicando x^{2}.

Passo 2

O que significa “derivar” aqui? A derivada f'(x) é, geometricamente, a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em cada ponto; em termos algébricos, é o limite
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Nesse limite, h é um pequeno incremento em x. Na prática de prova usamos regras que tornam esse limite fácil de calcular sem refazê-lo toda vez.

Passo 3

Regra prática que vamos usar (explicação e justificativa rápida): regra do expoente (power rule) e linearidade.
  • Regra do expoente: para um número natural n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Justificativa rápida para n=4: expandindo por binômio
(x+h)^{4}=x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4},
então
\frac{(x+h)^{4}-x^{4}}{h}=4x^{3}+6x^{2}h+4xh^{2}+h^{3},
e ao fazer h\to0 sobra 4x^{3}, confirmando a regra para n=4. O mesmo raciocínio vale para n=2.
  • Linearidade: a derivada de soma/diferença é a soma/diferença das derivadas, e constantes saem da derivada. Ou seja, se g(x)=a\cdot u(x)+b\cdot v(x) então
g'(x)=a\cdot u'(x)+b\cdot v'(x),
onde a,b são constantes.

Passo 4

Aplicando as regras aos termos da função: a função é soma de x^{4} e -6x^{2}. Vamos derivar cada termo separadamente e depois somar (pela linearidade).
Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dx}x^{4}=4x^{3},
pela regra do expoente com n=4.
Derivada do segundo termo:
usar que -6 é constante e \frac{d}{dx}x^{2}=2x, então
\frac{d}{dx}\bigl(-6x^{2}\bigr)=-6\cdot\frac{d}{dx}x^{2}=-6\cdot 2x=-12x.

Passo 5

Somando as derivadas dos dois termos, pela linearidade, obtém-se a derivada de f.

Resposta

f'(x)=4x^{3}-12x
f'(x)=4x(x^{2}-3)

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