Encontre a derivada de:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se encontre a derivada de
, isto é, a função derivada
. Informação importante fornecida: os dois termos são potências de
(graus
e
) e há um coeficiente constante
multiplicando
.
Passo 2
O que significa “derivar” aqui? A derivada
é, geometricamente, a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em cada ponto; em termos algébricos, é o limite
Nesse limite,
é um pequeno incremento em
. Na prática de prova usamos regras que tornam esse limite fácil de calcular sem refazê-lo toda vez.
Passo 3
Regra prática que vamos usar (explicação e justificativa rápida): regra do expoente (power rule) e linearidade.
- Regra do expoente: para um número natural
,
Justificativa rápida para
: expandindo por binômio
então
e ao fazer
sobra
, confirmando a regra para
. O mesmo raciocínio vale para
.
- Linearidade: a derivada de soma/diferença é a soma/diferença das derivadas, e constantes saem da derivada. Ou seja, se
então
onde
são constantes.
Passo 4
Aplicando as regras aos termos da função: a função é soma de
e
. Vamos derivar cada termo separadamente e depois somar (pela linearidade).
Derivada do primeiro termo:
pela regra do expoente com
.
Derivada do segundo termo:
usar que é constante e
, então
usar que
Passo 5
Somando as derivadas dos dois termos, pela linearidade, obtém-se a derivada de
.