Calcule:
\lim _{x \rightarrow 3} 5^{\frac{1}{x+3}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to 3} 5^{\frac{1}{x+3}}.
  • A função envolvida é uma potência de base fixa 5 e expoente dependente de x, isto é, f(x)=5^{\frac{1}{x+3}}.
  • Observação importante fornecida pelo enunciado: o ponto onde x tende é x=3. Não há indicação de descontinuidade no denominador em x=3 (pois 3+3\neq 0), portanto o expoente fica finito nesse ponto.

Passo 2

Analisar o comportamento do expoente isoladamente. Defina a função interna
g(x)=\frac{1}{x+3}.
Queremos \displaystyle \lim_{x\to 3} g(x). Como g é uma função racional e o denominador em x=3 é 3+3=6\neq 0, podemos calcular o limite por substituição direta:
\lim_{x\to 3} \frac{1}{x+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}.
Breve explicação didática: funções racionais (frações de polinômios) são contínuas em pontos onde o denominador não é zero, então o limite ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto.

Passo 3

Estudar a continuidade da função externa. Defina
h(t)=5^{t}.
Vamos explicar por que h é contínua para todo t:
  • Pode-se escrever 5^{t}=e^{t\ln 5}.
  • A função exponencial t\mapsto e^{t} é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A multiplicação por \ln 5 e a composição com e^{(\cdot)} preservam continuidade.
    Portanto h(t)=5^{t} é contínua em todo ponto t\in\mathbb{R}.
Regra de composição de limites (explicada): se \displaystyle \lim_{x\to a} g(x)=L e h é contínua em L, então
\lim_{x\to a} h(g(x))=h\bigl(\lim_{x\to a} g(x)\bigr)=h(L).
Isto significa que, quando a função externa é contínua no limite do interior, basta primeiro calcular o limite interior e depois aplicar a função externa ao resultado.

Passo 4

Aplicar a regra de composição ao nosso problema. Já calculamos
\lim_{x\to 3} \frac{1}{x+3}=\frac{1}{6},
e sabemos que h(t)=5^{t} é contínua em t=\tfrac{1}{6}. Logo
\lim_{x\to 3} 5^{\frac{1}{x+3}}=5^{\frac{1}{6}}.
Forma alternativa e equivalente: 5^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{5}.

Passo 5

Um pequeno número para intuir o valor: usando \ln 5\approx 1{,}6094379 temos
5^{1/6}=e^{\frac{1}{6}\ln 5}\approx e^{0{,}26823965}\approx 1{,}307.
Isto só para dar uma noção numérica; a resposta exata e mais elegante é 5^{1/6}.

Resposta

\displaystyle 5^{\frac{1}{6}}

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