Calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular o limite
. - A função envolvida é uma potência de base fixa
e expoente dependente de , isto é, . - Observação importante fornecida pelo enunciado: o ponto onde
tende é . Não há indicação de descontinuidade no denominador em (pois ), portanto o expoente fica finito nesse ponto.
Passo 2
Analisar o comportamento do expoente isoladamente. Defina a função interna
Queremos
. Como
é uma função racional e o denominador em
é
, podemos calcular o limite por substituição direta:
Breve explicação didática: funções racionais (frações de polinômios) são contínuas em pontos onde o denominador não é zero, então o limite ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto.
Passo 3
Estudar a continuidade da função externa. Defina
Vamos explicar por que
é contínua para todo
:
- Pode-se escrever
. - A função exponencial
é contínua em todo . - A multiplicação por
e a composição com preservam continuidade.
Portantoé contínua em todo ponto .
Regra de composição de limites (explicada): se
e
é contínua em
, então
Isto significa que, quando a função externa é contínua no limite do interior, basta primeiro calcular o limite interior e depois aplicar a função externa ao resultado.
Passo 4
Aplicar a regra de composição ao nosso problema. Já calculamos
e sabemos que
é contínua em
. Logo
Forma alternativa e equivalente:
.
Passo 5
Um pequeno número para intuir o valor: usando
temos
Isto só para dar uma noção numérica; a resposta exata e mais elegante é
.