Calcule:
\lim _{x \rightarrow-\infty} 5 x^{3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a menos infinito:
\lim_{x\to -\infty} 5x^{3}.
Informações dadas:
  • A expressão cuja limite se quer é 5x^{3}.
  • A variável x tende para -\infty (ou seja, vai para valores negativos com módulo cada vez maior).

Passo 2

Regra útil (lei de limite com constante): se c é uma constante e f(x) tem limite quando x tende a algum valor, então
\lim_{x\to a} c\cdot f(x) = c \cdot \lim_{x\to a} f(x).
Aqui c=5 e f(x)=x^{3}. Vou usar essa regra para separar o constante 5 do comportamento de x^{3}.

Passo 3

Analisar o comportamento de x^{3} quando x\to -\infty.
  • Para x<0, o cubo x^{3} também é negativo (porque um número negativo elevado a um expoente ímpar dá negativo).
  • À medida que x fica muito grande em módulo (isto é, |x|\to\infty), o valor de |x^{3}| cresce sem limite, porque |x^{3}| = |x|^{3} e |x|\to\infty implica |x|^{3}\to\infty.
  • Como x é negativo e |x^{3}|\to\infty, conclui-se que x^{3}\to -\infty quando x\to -\infty.
Uma forma alternativa e bem direta de ver isso é fazer a substituição t=-x. Quando x\to -\infty então t\to +\infty, e
x^{3}=(-t)^{3}=-t^{3}.
Como t^{3}\to +\infty, segue x^{3}=-t^{3}\to -\infty.

Passo 4

Aplicando a regra do Passo 2 com o resultado do Passo 3:
\lim_{x\to -\infty} 5x^{3} = 5\cdot \lim_{x\to -\infty} x^{3}.
Como \lim_{x\to -\infty} x^{3} = -\infty, multiplicando por 5>0 mantém o sinal e a tendência para infinito em módulo:
5\cdot (-\infty) = -\infty.

Passo 5

Interpretação final: o termo dominante x^{3} determina o comportamento do polinômio; para potência ímpar o sinal acompanha o sinal de x. Aqui x vai para -\infty e a constante multiplicativa 5 não altera o sinal, portanto o limite é -\infty.

Resposta

-\infty

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