Calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
(aproximação para a esquerda, valores de com módulo crescendo). - Não há outras condições ou restrições no enunciado.
Passo 2
Uma identidade trigonométrica útil (que vou usar e explicar) é a fórmula da diferença de cossenos:
Nessa fórmula,
e
são quaisquer números reais;
e
são as funções trigonométricas cosseno e seno. Vou aplicar essa identidade com
e
. Como
e
, obtemos
Logo, a função pode ser escrita de forma mais simples como
Passo 3
Estratégia para estudar o limite: se o limite
existisse e fosse igual a algum número
, então para qualquer sequência
com
deveríamos ter
. Portanto, uma maneira prática de mostrar que o limite não existe é encontrar duas sequências
e
tais que
e
tenham limites diferentes.
Passo 4
Construção da primeira sequência. Considere
Então
quando
. Calculo os valores da função nessa sequência:
Como
é função par (
), isso vale
Mas
. Ou, de forma mais direta usando
:
Portanto, ao longo dessa sequência temos
para todo
, isto é,
Passo 5
Construção da segunda sequência. Considere
Também
quando
. Calculo:
então
Logo, ao longo dessa outra sequência temos
para todo
, isto é,
Passo 6
Conclusão a partir das sequências: encontramos duas sequências
e
com
e
tais que
Como esses dois limites são diferentes, a função
não se aproxima de um único valor quando
. Portanto o limite não existe.
Passo 7
Intuição final (para fixar): a função cosseno é periódica e oscila entre
e
indefinidamente. Ao ir para
(ou
), a função continua oscilando e não se aproxima de um único número. Por isso o limite no infinito não existe.
Resposta
O limite não existe.