Calcule:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \cos (x-\pi)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \cos(x-\pi).
Informações dadas:
  • A função considerada é \cos(x-\pi).
  • O ponto de interesse é x\to -\infty (aproximação para a esquerda, valores de x com módulo crescendo).
  • Não há outras condições ou restrições no enunciado.

Passo 2

Uma identidade trigonométrica útil (que vou usar e explicar) é a fórmula da diferença de cossenos:
\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.
Nessa fórmula, a e b são quaisquer números reais; \cos e \sin são as funções trigonométricas cosseno e seno. Vou aplicar essa identidade com a=x e b=\pi. Como \cos\pi=-1 e \sin\pi=0, obtemos
\cos(x-\pi)=\cos x\cos\pi+\sin x\sin\pi = \cos x\cdot(-1)+\sin x\cdot 0 = -\cos x.
Logo, a função pode ser escrita de forma mais simples como
\cos(x-\pi)=-\cos x.

Passo 3

Estratégia para estudar o limite: se o limite \lim_{x\to -\infty}\cos(x-\pi) existisse e fosse igual a algum número L, então para qualquer sequência (x_n) com x_n\to -\infty deveríamos ter \cos(x_n-\pi)\to L. Portanto, uma maneira prática de mostrar que o limite não existe é encontrar duas sequências x_n\to -\infty e y_n\to -\infty tais que \cos(x_n-\pi) e \cos(y_n-\pi) tenham limites diferentes.

Passo 4

Construção da primeira sequência. Considere
x_n = -2\pi n,\qquad n=1,2,3,\dots
Então x_n\to -\infty quando n\to\infty. Calculo os valores da função nessa sequência:
\cos(x_n-\pi)=\cos(-2\pi n-\pi)=\cos(-(2\pi n+\pi)).
Como \cos é função par ( \cos(-\theta)=\cos\theta), isso vale
\cos(-(2\pi n+\pi))=\cos(2\pi n+\pi)=\cos(\pi+2\pi n).
Mas \cos(\pi+2\pi n)=\cos\pi\cos(2\pi n)-\sin\pi\sin(2\pi n)=-1\cdot 1-0\cdot 0=-1. Ou, de forma mais direta usando \cos(x-\pi)=-\cos x:
\cos(x_n-\pi)=-\cos(x_n)=-\cos(-2\pi n)=-\cos(2\pi n)=-1.
Portanto, ao longo dessa sequência temos \cos(x_n-\pi)=-1 para todo n, isto é,
\lim_{n\to\infty}\cos(x_n-\pi)=-1.

Passo 5

Construção da segunda sequência. Considere
y_n = -2\pi n + \pi,\qquad n=1,2,3,\dots
Também y_n\to -\infty quando n\to\infty. Calculo:
y_n-\pi = -2\pi n + \pi -\pi = -2\pi n,
então
\cos(y_n-\pi)=\cos(-2\pi n)=\cos(2\pi n)=1.
Logo, ao longo dessa outra sequência temos \cos(y_n-\pi)=1 para todo n, isto é,
\lim_{n\to\infty}\cos(y_n-\pi)=1.

Passo 6

Conclusão a partir das sequências: encontramos duas sequências (x_n) e (y_n) com x_n\to -\infty e y_n\to -\infty tais que
\lim_{n\to\infty}\cos(x_n-\pi)=-1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty}\cos(y_n-\pi)=1.
Como esses dois limites são diferentes, a função \cos(x-\pi) não se aproxima de um único valor quando x\to -\infty. Portanto o limite não existe.

Passo 7

Intuição final (para fixar): a função cosseno é periódica e oscila entre -1 e 1 indefinidamente. Ao ir para -\infty (ou +\infty), a função continua oscilando e não se aproxima de um único número. Por isso o limite no infinito não existe.

Resposta

O limite não existe.

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