Calcule:
\lim _{x \rightarrow-\infty} 2^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende para menos infinito:
\lim_{x\to -\infty} 2^{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é x \mapsto 2^{x^{2}}.
  • O ponto para o qual x se aproxima é -\infty.

Passo 2

Interpretar o comportamento de x^{2} quando x\to -\infty.
Quando x é um número negativo com valor absoluto muito grande (por exemplo x=-100), o quadrado x^{2} é um número positivo muito grande ( 10000 no exemplo). Em termos gerais:
  • Se x\to -\infty, então |x|\to +\infty.
  • Como x^{2}=|x|^{2}, segue que x^{2}\to +\infty.
Formalizando com uma desigualdade simples: se x< -R então |x|>R e assim x^{2}=|x|^{2}>R^{2}. Portanto x^{2} tende para +\infty quando x\to -\infty.

Passo 3

Lembrar uma propriedade básica das funções exponenciais com base maior que 1.
Para qualquer base a>1 vale:
\lim_{t\to +\infty} a^{t} = +\infty.
Uma forma conveniente de ver isso é escrever a^{t} usando a exponencial natural:
a^{t} = e^{t\ln a}.
Como a>1 implica \ln a>0, se t\to +\infty então t\ln a\to +\infty e portanto e^{t\ln a}\to +\infty.

Passo 4

Aplicar essa propriedade ao nosso caso com t=x^{2} e a=2.
Já vimos no Passo 2 que quando x\to -\infty temos t:=x^{2}\to +\infty. Então, aplicando a propriedade do Passo 3:
\lim_{x\to -\infty} 2^{x^{2}}=\lim_{t\to +\infty} 2^{t}=+\infty.
Também se quiser uma justificativa “ \varepsilon-like” para entender como cresce: para qualquer M>0 queremos 2^{x^{2}}>M. Isso é equivalente a
x^{2} \ln 2 > \ln M \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2} > \frac{\ln M}{\ln 2}.
Basta escolher x< -\sqrt{\dfrac{\ln M}{\ln 2}} (ou x>+\sqrt{\cdot}, mas aqui estamos indo para -\infty), então 2^{x^{2}}>M. Isso confirma que o valor cresce sem limite superior.

Resposta

+\infty

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