Calcule:
\lim _{x \rightarrow-\infty} 2^{12^{x}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty} 2^{12^{x}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • As constantes envolvidas são 2 e 12.
  • A expressão é uma potência aninhada: o expoente de 2 é 12^{x}.
  • A variável x tende para -\infty.

Passo 2

Estudar primeiro o comportamento de \,12^{x}\, quando x\to -\infty.
Usar a identidade
12^{x}=\frac{1}{12^{-x}}.
Quando x\to -\infty tem-se -x\to +\infty. Como a base 12>1, vale
12^{-x}\to +\infty.
Portanto, pela forma de fração,
12^{x}=\frac{1}{12^{-x}}\to 0.
Além disso, 12^{x} é sempre positivo, logo o limite é 0 pela direita:
\lim_{x\to -\infty}12^{x}=0^{+}.

Passo 3

Fazer a substituição auxiliar y=12^{x}. Pelas contas do passo anterior, quando x\to -\infty temos y\to 0^{+}. Então a expressão original fica
2^{12^{x}}=2^{y}
com y\to 0^{+}.
Agora usar que a função t\mapsto 2^{t} é contínua (para bases positivas a exponencial é contínua). Logo, se y\to 0 então
2^{y}\to 2^{0}.

Passo 4

Calcular o valor de 2^{0}:
2^{0}=1.
Portanto, pela continuidade e pela substituição feita,
\lim_{x\to -\infty}2^{12^{x}}=1.

Passo 5

(Verificação alternativa usando logaritmo, para ganhar confiança.)
Tomar logaritmo natural:
\ln\!\bigl(2^{12^{x}}\bigr)=12^{x}\ln 2.
Como \ln 2>0 e 12^{x}\to 0, o produto 12^{x}\ln 2\to 0. Logo
\ln\!\bigl(2^{12^{x}}\bigr)\to 0,
o que implica que 2^{12^{x}}\to e^{0}=1. Confirma o resultado anterior.

Resposta

\;1

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