Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações imediatas:
- As constantes envolvidas são
e . - A expressão é uma potência aninhada: o expoente de
é . - A variável
tende para .
Passo 2
Estudar primeiro o comportamento de
quando
.
Usar a identidade
Quando
tem-se
. Como a base
, vale
Portanto, pela forma de fração,
Além disso,
é sempre positivo, logo o limite é
pela direita:
Passo 3
Fazer a substituição auxiliar
. Pelas contas do passo anterior, quando
temos
. Então a expressão original fica
com
.
Agora usar que a função
é contínua (para bases positivas a exponencial é contínua). Logo, se
então
Passo 4
Calcular o valor de
:
Portanto, pela continuidade e pela substituição feita,
Passo 5
(Verificação alternativa usando logaritmo, para ganhar confiança.)
Tomar logaritmo natural:
Como
e
, o produto
. Logo
o que implica que
. Confirma o resultado anterior.