Calcule:
\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \sqrt{3-x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 3^{+}} \sqrt{3-x}.
Informações dadas:
  • A expressão é \sqrt{3-x}.
  • O limite é lateral pela direita: x\to 3^{+}, ou seja, estamos nos aproximando de 3 por valores x>3.

Passo 2

Vamos entender para quais x a função \sqrt{3-x} está definida no conjunto dos números reais. A raiz quadrada real exige que o radicando seja não negativo:
3-x \ge 0.
Resolvendo a desigualdade:
3-x \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \le 3.
Conclusão: como função real, \sqrt{3-x} está definida somente para x\le 3. Para qualquer x>3 o valor \sqrt{3-x} não é um número real (o radicando fica negativo).

Passo 3

Relembrando o significado de limite lateral pela direita: \lim_{x\to 3^{+}} f(x)=L significa que existem valores de f(x) definidos para x arbitrariamente próximos de 3 com x>3, e esses valores se aproximam de L. Ou seja, deve haver pontos da função no intervalo (3,3+\delta) para todo \delta>0 suficientemente pequeno.
No nosso caso, pela conclusão do passo anterior, não existem pontos da função com x>3 (não há valores reais de \sqrt{3-x} para x>3). Portanto NÃO há pontos da função arbitrariamente próximos de 3 vindo pela direita. Logo a condição necessária para existir o limite lateral direito falha.
Formalizando de outra forma com sequências: para que \lim_{x\to 3^{+}} f(x)=L valha, deveria existir alguma sequência (x_n) com x_n>3 e x_n\to 3 tal que f(x_n)\to L. Aqui essa hipótese é impossível porque não existem x_n>3 no domínio da função próximos de 3. Logo não existe nenhuma sequência adequada e, portanto, o limite lateral direito não existe no conjunto dos reais.

Passo 4

Observação útil (intuitiva): o limite pela esquerda existe e é igual a 0, pois para x<3 podemos escrever h=3-x>0 pequeno e \sqrt{3-x}=\sqrt{h}\to 0 quando h\to 0^{+}. Mas isso é o limite \lim_{x\to 3^{-}}\sqrt{3-x}=0. Isso não altera o resultado para a direita: a partir da direita não há definição real.

Passo 5

Comentário extra (opcional): se aceitarmos valores complexos, para x>3 pode-se escrever \sqrt{3-x}=i\sqrt{x-3} (ramo principal), e nesse contexto complexo a expressão tende a 0 quando x\to 3^{+}. Porém, em problemas de cálculo clássico onde a função é considerada real, não se admite esse prolongamento complexo a menos que o enunciado o permita.

Resposta

Não existe.

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