Calcule:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{20}{x^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a menos infinito:
\lim_{x\to -\infty} \frac{20}{x^{3}+1}.
Informações dadas:
  • O numerador é a constante 20.
  • O denominador é o polinômio x^{3}+1.
  • A variável x tende a -\infty (isto é, aos valores muito negativos).
O que se pede: encontrar o valor numérico do limite.

Passo 2

Ideia principal (técnica que vou usar): quando x tende a infinito em módulos grandes, termos como 1/x^{3} vão a zero. Uma forma padrão de tratar limites de frações com polinômios é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador (aqui é x^{3}). Isso deixa explícito quais termos vão a zero. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Divido numerador e denominador por x^{3}. Para x\neq0 vale:
\frac{20}{x^{3}+1} = \frac{\dfrac{20}{x^{3}}}{\dfrac{x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{3}}} = \frac{\dfrac{20}{x^{3}}}{1+\dfrac{1}{x^{3}}}.
Essa escrita é útil porque agora aparecem frações do tipo \dfrac{1}{x^{3}} e \dfrac{20}{x^{3}}, cujo comportamento é claro quando x\to -\infty.

Passo 4

Analisar os sub-limites que aparecem:
  • Como x\to -\infty temos \dfrac{1}{x^{3}}\to 0. Explicando: x^{3} tende a -\infty, então o inverso tende a 0.
  • Também \dfrac{20}{x^{3}} = 20\cdot \dfrac{1}{x^{3}}\to 20\cdot 0 = 0. Observação sobre sinal: para x muito negativo, x^{3} é negativo, então \dfrac{20}{x^{3}} aproxima-se de 0 pela negativa (isto é, 0^{-}), mas o limite numérico é 0.

Passo 5

Usar os resultados do passo anterior na expressão reescrita:
\lim_{x\to -\infty} \frac{\dfrac{20}{x^{3}}}{1+\dfrac{1}{x^{3}}} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{20}{x^{3}}}{\displaystyle 1+\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x^{3}}} = \frac{0}{1+0}=0.
Aqui foi usado que, se os limites das partes existem e o denominador limite é diferente de zero, pode-se passar ao limite da razão.

Passo 6

Interpretação final e observação intuitiva: o denominador cresce em módulo como x^{3} (tende a -\infty), enquanto o numerador fica fixo em 20. Uma constante dividida por algo que cresce em módulo sem limite tende a 0. No caso de x\to -\infty a fração aproxima-se de 0 por valores negativos, mas o limite é 0.

Resposta

0

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