Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende a menos infinito:
Informações dadas:
- O numerador é a constante
. - O denominador é o polinômio
. - A variável
tende a (isto é, aos valores muito negativos).
O que se pede: encontrar o valor numérico do limite.
Passo 2
Ideia principal (técnica que vou usar): quando
tende a infinito em módulos grandes, termos como
vão a zero. Uma forma padrão de tratar limites de frações com polinômios é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador (aqui é
). Isso deixa explícito quais termos vão a zero. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Divido numerador e denominador por
. Para
vale:
Essa escrita é útil porque agora aparecem frações do tipo
e
, cujo comportamento é claro quando
.
Passo 4
Analisar os sub-limites que aparecem:
- Como
temos . Explicando: tende a , então o inverso tende a . - Também
. Observação sobre sinal: para muito negativo, é negativo, então aproxima-se de pela negativa (isto é, ), mas o limite numérico é .
Passo 5
Usar os resultados do passo anterior na expressão reescrita:
Aqui foi usado que, se os limites das partes existem e o denominador limite é diferente de zero, pode-se passar ao limite da razão.
Passo 6
Interpretação final e observação intuitiva: o denominador cresce em módulo como
(tende a
), enquanto o numerador fica fixo em
. Uma constante dividida por algo que cresce em módulo sem limite tende a
. No caso de
a fração aproxima-se de
por valores negativos, mas o limite é
.