Calcule:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \sqrt[3]{x^{4}+2 x^{2}-5}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty}\sqrt[3]{x^{4}+2x^{2}-5}.
Informações dadas:
  • A expressão dentro da raiz é x^{4}+2x^{2}-5.
  • O limite é quando x tende para -\infty (valores negativos com magnitude crescente).

Passo 2

Idéia principal (o que observar): para x com grande magnitude a parcela dominante de x^{4}+2x^{2}-5 é x^{4}, porque x^{4} cresce muito mais rápido que x^{2} ou a constante. Portanto a expressão dentro da raiz cúbica tende para +\infty quando x\to -\infty. Vou transformar a expressão para deixar isso claro e controlar os fatores.

Passo 3

Fatorar x^{4} dentro da raiz cúbica para separar o crescimento dominante:
\sqrt[3]{x^{4}+2x^{2}-5} = \sqrt[3]{x^{4}\left(1+\frac{2x^{2}}{x^{4}}-\frac{5}{x^{4}}\right)} = \sqrt[3]{x^{4}}\;\sqrt[3]{1+\frac{2}{x^{2}}-\frac{5}{x^{4}}}.

Passo 4

Explicar \sqrt[3]{x^{4}}: como \sqrt[3]{x^{4}}=(x^{4})^{1/3}, e x^{4}=\lvert x\rvert^{4}, tem-se
\sqrt[3]{x^{4}}=\lvert x\rvert^{4/3}.
Para x\to -\infty temos \lvert x\rvert=-x e portanto \lvert x\rvert^{4/3}\to +\infty.

Passo 5

Analisar o segundo fator:
\sqrt[3]{1+\frac{2}{x^{2}}-\frac{5}{x^{4}}}.
Quando x\to -\infty as frações \dfrac{2}{x^{2}} e \dfrac{5}{x^{4}} tendem a 0, logo
\sqrt[3]{1+\frac{2}{x^{2}}-\frac{5}{x^{4}}}\longrightarrow \sqrt[3]{1}=1.

Passo 6

Juntando os fatores:
\sqrt[3]{x^{4}+2x^{2}-5} = \lvert x\rvert^{4/3}\cdot \sqrt[3]{1+\frac{2}{x^{2}}-\frac{5}{x^{4}}}.
O primeiro fator tende para +\infty e o segundo tende para 1; produto de algo que cresce sem limite por um fator que tende a um número positivo finito também cresce sem limite. Portanto o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

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