Calcule
(a) 2
(b) 0
(c) 4
(d) -2
(b) 0
(c) 4
(d) -2
Passo 1
O enunciado nos dá o limite
e pergunta qual é o valor entre as alternativas:
(a)
(b)
(c)
(d) .
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 2
Primeiro teste: tenta substituir diretamente
na expressão para ver se o limite é imediato. Substituindo,
O quociente
é uma forma indeterminada — isto é, não dá para concluir o valor do limite apenas por substituição. Precisamos manipular a expressão algébrica para remover essa indeterminação.
Passo 3
Uma técnica básica e muito usada em limites é fatorar polinômios. Aqui o numerador é uma diferença de quadrados. A fórmula da diferença de quadrados é:
onde
e
são quaisquer números ou expressões. No nosso caso podemos ver
como
, então aplicamos a fórmula com
e
.
Passo 4
Aplicando a fatoração temos
Substituindo isso no numerador do limite,
Para
é possível simplificar o fator comum
no numerador e denominador, obtendo a identidade (para
):
Isso mostra que, quando nos aproximamos de
(mas
não é exatamente
), a expressão original se comporta como
.
Passo 5
Agora o limite fica simples: como a função simplificada
é contínua em
, podemos usar substituição direta para calcular o limite:
Comentário rápido e motivador: embora a expressão original esteja indefinida em
, o limite existe porque a indeterminação foi removida pela fatoração — é um exemplo clássico de uma descontinuidade removível.
Resposta
(a) 2