Calcule
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}
(a) 2
(b) 0
(c) 4
(d) -2

Passo 1

O enunciado nos dá o limite
\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}
e pergunta qual é o valor entre as alternativas:
(a) 2
(b) 0
(c) 4
(d) -2.

Passo 2

Primeiro teste: tenta substituir diretamente x=1 na expressão para ver se o limite é imediato. Substituindo,
\frac{1^{2}-1}{1-1}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}.
O quociente \frac{0}{0} é uma forma indeterminada — isto é, não dá para concluir o valor do limite apenas por substituição. Precisamos manipular a expressão algébrica para remover essa indeterminação.

Passo 3

Uma técnica básica e muito usada em limites é fatorar polinômios. Aqui o numerador é uma diferença de quadrados. A fórmula da diferença de quadrados é:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer números ou expressões. No nosso caso podemos ver x^{2}-1 como x^{2}-1^{2}, então aplicamos a fórmula com a=x e b=1.

Passo 4

Aplicando a fatoração temos
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Substituindo isso no numerador do limite,
\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}.
Para x\neq1 é possível simplificar o fator comum x-1 no numerador e denominador, obtendo a identidade (para x\neq1):
\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.
Isso mostra que, quando nos aproximamos de x=1 (mas x não é exatamente 1), a expressão original se comporta como x+1.

Passo 5

Agora o limite fica simples: como a função simplificada x+1 é contínua em x=1, podemos usar substituição direta para calcular o limite:
\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=1+1=2.
Comentário rápido e motivador: embora a expressão original esteja indefinida em x=1, o limite existe porque a indeterminação foi removida pela fatoração — é um exemplo clássico de uma descontinuidade removível.

Resposta

(a) 2

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