Derive:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para derivá‑la, isto é, encontrar
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é a soma de duas funções elementares:
e . - Deve-se aplicar a definição e/ou regras de derivação para obter a derivada.
Passo 2
O que é derivar? Vou lembrar rapidamente a definição e a regra que vamos usar.
Definição (derivada): a derivada de uma função
em
é o limite
quando esse limite existe.
Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então
Aqui vamos usar essa regra: primeiro calculamos
e
, depois somamos.
Passo 3
Derivada de
pela definição. Começamos com
Usamos a fórmula de adição do seno:
. Substituindo na fração:
Agora usamos dois limites básicos (é importante saber ou aceitar estes resultados padrão):
Uma pequena justificativa para o segundo:
, então
e quando
o primeiro fator tende a
e o último tende a
, logo o produto tende a
.
Aplicando os limites na expressão acima:
Portanto
Passo 4
Derivada de
pela definição. Começamos com
Usamos a fórmula de adição do cosseno:
. Substituindo:
Usando os mesmos limites conhecidos:
Portanto
Passo 5
Agora aplicamos a regra da soma à função
. Usando os resultados anteriores: