Derive:
f(x)=\sin x+\cos x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sin x+\cos x e pede para derivá‑la, isto é, encontrar f'(x).
Informações relevantes:
  • A função é a soma de duas funções elementares: \sin x e \cos x.
  • Deve-se aplicar a definição e/ou regras de derivação para obter a derivada.

Passo 2

O que é derivar? Vou lembrar rapidamente a definição e a regra que vamos usar.
Definição (derivada): a derivada de uma função g em x é o limite
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h},
quando esse limite existe.
Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se f(x)=u(x)+v(x) então
f'(x)=u'(x)+v'(x).
Aqui vamos usar essa regra: primeiro calculamos (\sin x)' e (\cos x)', depois somamos.

Passo 3

Derivada de \sin x pela definição. Começamos com
\begin{aligned} \sin'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}. \end{aligned}
Usamos a fórmula de adição do seno: \sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h. Substituindo na fração:
\begin{aligned} \sin'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}\\[4pt] &=\lim_{h\to0}\left(\sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\sin h}{h}\right). \end{aligned}
Agora usamos dois limites básicos (é importante saber ou aceitar estes resultados padrão):
\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.
Uma pequena justificativa para o segundo: \cos h-1=-2\sin^2(\tfrac{h}{2}), então
\frac{\cos h-1}{h}=-2\frac{\sin^2(\tfrac{h}{2})}{h}=-2\left(\frac{\sin(\tfrac{h}{2})}{\tfrac{h}{2}}\right)^2\cdot\frac{h}{4},
e quando h\to0 o primeiro fator tende a 1 e o último tende a 0, logo o produto tende a 0.
Aplicando os limites na expressão acima:
\sin'(x)=\sin x\cdot 0+\cos x\cdot 1=\cos x.
Portanto
(\sin x)'=\cos x.]

Passo 4

Derivada de \cos x pela definição. Começamos com
\begin{aligned} \cos'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}. \end{aligned}
Usamos a fórmula de adição do cosseno: \cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h. Substituindo:
\begin{aligned} \cos'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h}\\[4pt] &=\lim_{h\to0}\left(\cos x\cdot\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\cdot\frac{\sin h}{h}\right). \end{aligned}
Usando os mesmos limites conhecidos:
\cos'(x)=\cos x\cdot 0-\sin x\cdot 1=-\sin x.
Portanto
(\cos x)'=-\sin x.]

Passo 5

Agora aplicamos a regra da soma à função f(x)=\sin x+\cos x. Usando os resultados anteriores:
\begin{aligned} f'(x)&=(\sin x)'+(\cos x)'\\[4pt] &=\cos x+(-\sin x)\\[4pt] &=\cos x-\sin x. \end{aligned}]

Resposta

\,f'(x)=\cos x-\sin x

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