Determine:
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende para infinito:
Informações dadas: a expressão é uma função racional (quociente de dois polinômios) com numerador
e denominador
. A pergunta é apenas o valor desse limite.
Passo 2
Ideia principal (intuição): quando
cresce muito, os termos de maior ordem em
dominam o comportamento da função. Aqui ambos numerador e denominador têm termo de maior ordem proporcional a
(grau 1). Então o limite costuma ser a razão dos coeficientes desses termos dominantes. Vou mostrar isso de forma algébrica e rigorosa.
Passo 3
Vou dividir numerador e denominador por
(que é a maior potência de
presente) para tornar explícitos os termos que vão a zero quando
. Escrevendo:
Passo 4
Usarei agora o fato básico sobre limites: se
e
com
, então
No nosso caso, observe que
Passo 5
Aplicando essas observações à expressão obtida no Passo 3, temos
Portanto o limite existe e vale
.
Passo 6
Comentário prático (regra rápida para provas): para limites do tipo
, onde
são polinômios, se os graus de
e
são iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes. Aqui ambos têm grau
e os coeficientes líderes são
e
, dando
. Exemplo extra:
.