Determine:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5 x+1}{2 x-3}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende para infinito:
\lim_{x\to\infty}\frac{5x+1}{2x-3}.
Informações dadas: a expressão é uma função racional (quociente de dois polinômios) com numerador 5x+1 e denominador 2x-3. A pergunta é apenas o valor desse limite.

Passo 2

Ideia principal (intuição): quando x cresce muito, os termos de maior ordem em x dominam o comportamento da função. Aqui ambos numerador e denominador têm termo de maior ordem proporcional a x (grau 1). Então o limite costuma ser a razão dos coeficientes desses termos dominantes. Vou mostrar isso de forma algébrica e rigorosa.

Passo 3

Vou dividir numerador e denominador por x (que é a maior potência de x presente) para tornar explícitos os termos que vão a zero quando x\to\infty. Escrevendo:
\frac{5x+1}{2x-3}=\frac{x\left(5+\dfrac{1}{x}\right)}{x\left(2-\dfrac{3}{x}\right)}=\frac{5+\dfrac{1}{x}}{2-\dfrac{3}{x}}.

Passo 4

Usarei agora o fato básico sobre limites: se \lim_{x\to\infty}a(x)=A e \lim_{x\to\infty}b(x)=B com B\neq0, então
\lim_{x\to\infty}\frac{a(x)}{b(x)}=\frac{A}{B}.
No nosso caso, observe que
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{3}{x}=0.

Passo 5

Aplicando essas observações à expressão obtida no Passo 3, temos
\lim_{x\to\infty}\frac{5+\dfrac{1}{x}}{2-\dfrac{3}{x}} =\frac{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(5+\dfrac{1}{x}\right)}{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(2-\dfrac{3}{x}\right)} =\frac{5+0}{2-0}=\frac{5}{2}.
Portanto o limite existe e vale \dfrac{5}{2}.

Passo 6

Comentário prático (regra rápida para provas): para limites do tipo \lim_{x\to\infty}\dfrac{P(x)}{Q(x)}, onde P,Q são polinômios, se os graus de P e Q são iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes. Aqui ambos têm grau 1 e os coeficientes líderes são 5 e 2, dando \dfrac{5}{2}. Exemplo extra: \lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1}{7x^2-5}=\dfrac{3}{7}.

Resposta

\dfrac{5}{2}

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