Calcule.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas que extraí do enunciado:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - O limite é quando
tende a (ou seja, quando vai para valores muito negativos).
Passo 2
Ideia principal (explicada devagarinho): quando calculamos limites de funções racionais (frações de polinômios) para
, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau (os de maior potência) em numerador e denominador. Vou explicar dois conceitos usados aqui:
- Grau de um polinômio: o maior expoente com coeficiente não nulo. Por exemplo, o grau de
é (porque aparece ). - Coeficiente dominante (ou líder): o coeficiente do termo de maior grau. Em
o termo dominante é , logo o coeficiente dominante é . Em o termo dominante é , logo o coeficiente dominante é .
Regra útil (intuição): se o grau do numerador for maior que o do denominador, a fração tende a infinito em módulo quando
. O sinal (se vai a
ou a
) depende do sinal do termo dominante após considerar o sinal vindo de
(por exemplo, potências pares são sempre positivas, potências ímpares mantêm o sinal de
, etc.). Vou aplicar isso cuidadosamente.
Passo 3
Identificar os graus e os termos dominantes:
- Grau do numerador
. Termo dominante: (coeficiente ). - Grau do denominador
. Termo dominante: (coeficiente ).
Como
, esperamos que o valor absoluto da fração cresça sem limite quando
fica grande — ou seja, o limite será infinito em módulo (ou
ou
). Agora vamos determinar o sinal e provar isso por manipulação algébrica.
Passo 4
Fatorar as potências dominantes para simplificar a expressão (passo a passo):
Começo escrevendo o numerador e o denominador com os fatores das maiores potências explicitados.
Começo escrevendo o numerador e o denominador com os fatores das maiores potências explicitados.
O numerador:
O denominador:
Logo a fração fica
Simplificando
, obtemos
Passo 5
Analisar o comportamento de cada fator quando
:
- O fator
: como é uma potência par, sempre, e quando tem . - O sinal negativo à frente: temos
, portanto esse produto tende a se multiplicado por um número finito e não nulo. - As frações dentro dos parênteses:
porque . porque . - Portanto
que é um número finito e positivo.
Multiplicando:
(que tende a
) vezes algo que tende a
(número finito e positivo) dá
. Em palavras: a parte que cresce sem limite é negativa e cresce em módulo como
, então o produto diverge para
.
Passo 6
Conclusão formal: a expressão
tende a
quando
, porque
e o segundo fator tende para
.
Uma forma rápida de ver (intuitiva): para grandes
a fração se comporta como
, e como
quando
, o produto dá
.