Calcule.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5-x^{3}}{3+2 x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{5-x^{3}}{3+2x}.
Informações dadas e observações imediatas que extraí do enunciado:
  • O numerador é o polinômio 5-x^{3}.
  • O denominador é o polinômio 3+2x.
  • O limite é quando x tende a -\infty (ou seja, quando x vai para valores muito negativos).

Passo 2

Ideia principal (explicada devagarinho): quando calculamos limites de funções racionais (frações de polinômios) para x\to\pm\infty, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau (os de maior potência) em numerador e denominador. Vou explicar dois conceitos usados aqui:
  • Grau de um polinômio: o maior expoente com coeficiente não nulo. Por exemplo, o grau de 5-x^{3} é 3 (porque aparece x^{3}).
  • Coeficiente dominante (ou líder): o coeficiente do termo de maior grau. Em 5-x^{3} o termo dominante é -x^{3}, logo o coeficiente dominante é -1. Em 3+2x o termo dominante é 2x, logo o coeficiente dominante é 2.
Regra útil (intuição): se o grau do numerador for maior que o do denominador, a fração tende a infinito em módulo quando x\to\pm\infty. O sinal (se vai a +\infty ou a -\infty) depende do sinal do termo dominante após considerar o sinal vindo de x (por exemplo, potências pares são sempre positivas, potências ímpares mantêm o sinal de x, etc.). Vou aplicar isso cuidadosamente.

Passo 3

Identificar os graus e os termos dominantes:
  • Grau do numerador =3. Termo dominante: -x^{3} (coeficiente -1).
  • Grau do denominador =1. Termo dominante: 2x (coeficiente 2).
Como 3>1, esperamos que o valor absoluto da fração cresça sem limite quando |x| fica grande — ou seja, o limite será infinito em módulo (ou +\infty ou -\infty). Agora vamos determinar o sinal e provar isso por manipulação algébrica.

Passo 4

Fatorar as potências dominantes para simplificar a expressão (passo a passo):
Começo escrevendo o numerador e o denominador com os fatores das maiores potências explicitados.
O numerador:
5-x^{3} = -x^{3}\left(1-\frac{5}{x^{3}}\right).
O denominador:
3+2x = x\left(2+\frac{3}{x}\right).
Logo a fração fica
\frac{5-x^{3}}{3+2x} = \frac{-x^{3}\left(1-\dfrac{5}{x^{3}}\right)}{x\left(2+\dfrac{3}{x}\right)}.
Simplificando x^{3}/x = x^{2}, obtemos
\frac{5-x^{3}}{3+2x} = -x^{2}\cdot\frac{1-\dfrac{5}{x^{3}}}{2+\dfrac{3}{x}}.

Passo 5

Analisar o comportamento de cada fator quando x\to -\infty:
  • O fator x^{2}: como é uma potência par, x^{2}\ge 0 sempre, e quando x\to -\infty tem x^{2}\to +\infty.
  • O sinal negativo à frente: temos -x^{2}, portanto esse produto tende a -\infty se multiplicado por um número finito e não nulo.
  • As frações dentro dos parênteses: 1-\frac{5}{x^{3}}\longrightarrow 1 \quad\text{quando }x\to -\infty,porque \dfrac{5}{x^{3}}\to 0. 2+\frac{3}{x}\longrightarrow 2 \quad\text{quando }x\to -\infty,porque \dfrac{3}{x}\to 0.
  • Portanto \frac{1-\dfrac{5}{x^{3}}}{2+\dfrac{3}{x}}\longrightarrow \frac{1}{2}\quad\text{quando }x\to -\infty,que é um número finito e positivo.
Multiplicando: -x^{2} (que tende a -\infty) vezes algo que tende a \tfrac{1}{2} (número finito e positivo) dá -\infty. Em palavras: a parte que cresce sem limite é negativa e cresce em módulo como x^{2}, então o produto diverge para -\infty.

Passo 6

Conclusão formal: a expressão
\frac{5-x^{3}}{3+2x} = -x^{2}\cdot\frac{1-\dfrac{5}{x^{3}}}{2+\dfrac{3}{x}}
tende a -\infty quando x\to -\infty, porque -x^{2}\to -\infty e o segundo fator tende para \tfrac{1}{2}\neq 0.
Uma forma rápida de ver (intuitiva): para grandes |x| a fração se comporta como \dfrac{-x^{3}}{2x}= -\tfrac{1}{2}x^{2}, e como x^{2}\to +\infty quando x\to -\infty, o produto dá -\infty.

Resposta

-\infty

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