Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{3}{3 x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -1} \frac{3}{3x+1}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{3}{3x+1}.
  • O ponto de limite é x\to -1.
    A tarefa é encontrar o valor do limite quando x se aproxima de -1.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): para funções racionais (frações de polinômios) vale que elas são contínuas em qualquer ponto onde o denominador não é zero. “Contínua” aqui significa que o limite quando x tende a um ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Então, se ao substituir x=a no denominador obtemos um número diferente de zero, podemos simplesmente fazer a substituição direta para calcular o limite.

Passo 3

Verificação do denominador no ponto pedido: calcule o denominador em x=-1:
3x+1\Big|_{x=-1}=3\cdot(-1)+1=-3+1=-2.
Como -2\neq 0, o denominador não zera em x=-1. Portanto a função está definida e é contínua em x=-1.

Passo 4

Aplicando substituição direta (já que a função é contínua nesse ponto):
\lim_{x\to -1} \frac{3}{3x+1}=\frac{3}{3\cdot(-1)+1}=\frac{3}{-2}.

Passo 5

Simplificando o sinal da fração:
\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}.
Esse é o valor do limite.

Resposta

-\dfrac{3}{2}

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