Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{2}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2x^{2}-1}{x-1}.
Informações dadas:
  • A função é a razão \dfrac{2x^{2}-1}{x-1}.
  • Queremos o valor do limite quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro passo padrão: tentar a substituição direta. Substituir x=1 em cada parte:
\text{numerador: }2\cdot 1^{2}-1=2-1=1, \qquad \text{denominador: }1-1=0.
Logo ao substituir obtemos a forma \dfrac{1}{0}: numerador tende a \,1 (não nulo) e denominador tende a 0. Isto não é uma indeterminação do tipo 0/0; é um caso em que uma quantidade não nula é dividida por algo que vai para zero.
Explicar o que isso significa para limites: quando o numerador tende a uma constante não nula (aqui \,1) e o denominador tende a 0, a fração tende a ter módulo muito grande — costuma divergir para infinito ou menos infinito, dependendo do sinal do denominador próximo do ponto. Para decidir o sinal, precisamos analisar os limites laterais (pela direita e pela esquerda).

Passo 3

Analisar o sinal do numerador perto de x=1. Como o numerador tende a 1, para x suficientemente perto de 1 o numerador é positivo (por exemplo, para x em (0{,}9,1{,}1) ele é próximo de 1 e positivo). Então o sinal da fração será dominado pelo sinal do denominador x-1.

Passo 4

Limite pela direita ( x\to1^{+}): para x>1 suficientemente próximo de 1 temos x-1>0 pequeno. Numerador \approx 1>0. Portanto a fração fica positiva e com valor de módulo muito grande conforme x se aproxima de 1 pela direita. Conclusão:
\lim_{x\to 1^{+}}\frac{2x^{2}-1}{x-1}=+\infty.

Passo 5

Limite pela esquerda ( x\to1^{-}): para x<1 suficientemente próximo de 1 temos x-1<0 pequeno (valor negativo de pequena magnitude). Numerador \approx 1>0. Portanto a fração é negativa e com módulo crescendo sem limite conforme x se aproxima de 1 pela esquerda. Conclusão:
\lim_{x\to 1^{-}}\frac{2x^{2}-1}{x-1}=-\infty.
Como os limites laterais existem mas são diferentes ( +\infty e -\infty), o limite bilateral (o pedido \lim_{x\to1}) não existe como número finito nem como infinito único. Também vale comentar que a regra de L’Hôpital não se aplica aqui, pois ela só é válida para formas indeterminadas do tipo 0/0 ou \infty/\infty; aqui temos 1/0, que não é indeterminado, é divergência.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{2x^{2}-1}{x-1} não existe.
\displaystyle \lim_{x\to1^{+}}\frac{2x^{2}-1}{x-1}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to1^{-}}\frac{2x^{2}-1}{x-1}=-\infty

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