Calcule os limites.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- A função é a razão
. - Queremos o valor do limite quando
se aproxima de .
Passo 2
Primeiro passo padrão: tentar a substituição direta. Substituir
em cada parte:
Logo ao substituir obtemos a forma
: numerador tende a
(não nulo) e denominador tende a
. Isto não é uma indeterminação do tipo
; é um caso em que uma quantidade não nula é dividida por algo que vai para zero.
Explicar o que isso significa para limites: quando o numerador tende a uma constante não nula (aqui
) e o denominador tende a
, a fração tende a ter módulo muito grande — costuma divergir para infinito ou menos infinito, dependendo do sinal do denominador próximo do ponto. Para decidir o sinal, precisamos analisar os limites laterais (pela direita e pela esquerda).
Passo 3
Analisar o sinal do numerador perto de
. Como o numerador tende a
, para
suficientemente perto de
o numerador é positivo (por exemplo, para
em
ele é próximo de
e positivo). Então o sinal da fração será dominado pelo sinal do denominador
.
Passo 4
Limite pela direita (
): para
suficientemente próximo de
temos
pequeno. Numerador
. Portanto a fração fica positiva e com valor de módulo muito grande conforme
se aproxima de
pela direita. Conclusão:
Passo 5
Limite pela esquerda (
): para
suficientemente próximo de
temos
pequeno (valor negativo de pequena magnitude). Numerador
. Portanto a fração é negativa e com módulo crescendo sem limite conforme
se aproxima de
pela esquerda. Conclusão:
Como os limites laterais existem mas são diferentes (
e
), o limite bilateral (o pedido
) não existe como número finito nem como infinito único. Também vale comentar que a regra de L’Hôpital não se aplica aqui, pois ela só é válida para formas indeterminadas do tipo
ou
; aqui temos
, que não é indeterminado, é divergência.