Calcule
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{4}}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{4}}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma potência cujo expoente depende de x.
  • O limite é quando x tende a +\infty.
O que se quer: o valor numérico desse limite (um número real).

Passo 2

Ideia geral e justificativa do método escolhido (sem ainda calcular): é muito comum para limites de potências dependentes de x tomar o logaritmo natural para transformar a potência em produto, calcular o limite do logaritmo e depois aplicar a exponencial para recuperar o valor original. Isso funciona porque a função exponencial é contínua: se
\lim_{x\to\infty}\ln\big(f(x)\big)=L
existe e é finito, então
\lim_{x\to\infty}f(x)=e^{L}.
Vou usar esse método aqui.

Passo 3

Aplicar logaritmo natural à expressão e reescrever o problema. Seja
L=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{4}}.
Se o limite existe e é positivo, podemos considerar
\ln L=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{4}\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right).
Agora o objetivo é calcular o limite do produto \dfrac{x}{4}\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right).

Passo 4

Transformar o produto em uma forma de quociente conveniente para aplicar um limite conhecido. Escrevo
\frac{x}{4}\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{4}\cdot\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}}.
Note que, quando x\to\infty, temos \dfrac{1}{x}\to 0. Portanto é natural fazer a substituição auxiliar
u=\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad u\to 0^+.
Com isso o limite dentro do logaritmo fica
\frac{\ln(1+u)}{u}\quad\text{quando }u\to 0.

Passo 5

Calcular \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}. Este é um limite clássico. Posso justificar o valor usando a regra de L’Hôpital ou usando a série de Taylor. Vou usar L’Hôpital (é direto e elementar):
  • Para u\to 0 o numerador \ln(1+u)\to 0 e o denominador u\to 0, então temos a forma 0/0.
  • Aplicando L’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a u:
    • derivada do numerador: \dfrac{d}{du}\ln(1+u)=\dfrac{1}{1+u},
    • derivada do denominador: \dfrac{d}{du}u=1.
  • Portanto
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=\lim_{u\to 0}\frac{1}{1+u}=\frac{1}{1+0}=1.

Passo 6

Retornando ao limite do passo 4, temos
\ln L=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{4}\cdot\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}}=\frac{1}{4}\cdot 1=\frac{1}{4}.
Logo o logaritmo do limite é \dfrac{1}{4}.

Passo 7

Aplicar a exponencial para recuperar L. Como \ln L=\dfrac{1}{4}, temos
L=e^{\frac{1}{4}}.

Resposta

e^{\frac{1}{4}}

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