Calcule
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o limite
Informações dadas:
- A expressão é uma potência cujo expoente depende de
. - O limite é quando
tende a .
O que se quer: o valor numérico desse limite (um número real).
Passo 2
Ideia geral e justificativa do método escolhido (sem ainda calcular): é muito comum para limites de potências dependentes de
tomar o logaritmo natural para transformar a potência em produto, calcular o limite do logaritmo e depois aplicar a exponencial para recuperar o valor original. Isso funciona porque a função exponencial é contínua: se
existe e é finito, então
Vou usar esse método aqui.
Passo 3
Aplicar logaritmo natural à expressão e reescrever o problema. Seja
Se o limite existe e é positivo, podemos considerar
Agora o objetivo é calcular o limite do produto
.
Passo 4
Transformar o produto em uma forma de quociente conveniente para aplicar um limite conhecido. Escrevo
Note que, quando
, temos
. Portanto é natural fazer a substituição auxiliar
Com isso o limite dentro do logaritmo fica
Passo 5
Calcular
. Este é um limite clássico. Posso justificar o valor usando a regra de L’Hôpital ou usando a série de Taylor. Vou usar L’Hôpital (é direto e elementar):
- Para
o numerador e o denominador , então temos a forma . - Aplicando L’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a
: - derivada do numerador:
, - derivada do denominador:
.
- derivada do numerador:
- Portanto
Passo 6
Retornando ao limite do passo 4, temos
Logo o logaritmo do limite é
.
Passo 7
Aplicar a exponencial para recuperar
. Como
, temos