Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}, onde (f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2} & \text { se } x \leq 1 \\\\ 2 x-1 & \text { se } x>1\end{array}\right.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função f é definida por partes: f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \text{se } x\leq 1,\\[4pt] 2x-1, & \text{se } x>1. \end{cases}
  • O enunciado pede o valor do limite \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1},ou, se não existir, pede justificativa.]

Passo 2

Primeiro calculemos o valor de f(1), que aparece no numerador. Como 1 pertence à condição x\leq 1, usamos a primeira expressão:
f(1)=1^{2}=1.
Portanto o quociente dado é
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{f(x)-1}{x-1}.

Passo 3

Vamos analisar o limite pela esquerda ( x\to 1^{-}). Para x<1 (ou aproximando 1 pela esquerda) usamos f(x)=x^{2}. Assim o quociente torna-se
\frac{f(x)-1}{x-1}=\frac{x^{2}-1}{x-1}.
Aqui aplicamos uma fatoração algébrica clássica: x^{2}-1=(x-1)(x+1). Então, para x\neq 1,
\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.
Essa simplificação é válida para x próximos de 1 mas diferentes de 1. Agora tiramos o limite quando x\to 1^{-}:
\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-1}{x-1}=\lim_{x\to 1^{-}}(x+1)=1+1=2.
Aqui usei que se uma função é igual a x+1 num intervalo próximo de 1 (exceto em 1 mesmo), o limite quando x\to1 é apenas o valor de x+1 avaliado em 1.

Passo 4

Agora analisamos o limite pela direita ( x\to 1^{+}). Para x>1 usamos f(x)=2x-1. O quociente fica
\frac{f(x)-1}{x-1}=\frac{(2x-1)-1}{x-1}=\frac{2x-2}{x-1}.
Fatorando 2x-2=2(x-1) e simplificando (para x\neq 1) obtemos
\frac{2(x-1)}{x-1}=2.
Isso é uma constante (independe de x enquanto x\neq 1), portanto
\lim_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-1}{x-1}=2.

Passo 5

Confrontando as duas semi-limites: pela esquerda obtivemos \;2\; e pela direita também obtivemos \;2\;. Como as duas coincidem, o limite bilateral existe e vale esse mesmo número. Intuitivamente, isso significa que a inclinação da função ao se aproximar de x=1 é a mesma pelos dois lados; em termos técnicos, a diferença de quociente tende ao mesmo valor de ambos os lados.

Resposta

2

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