Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}, onde (f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2} & \text { se } x \leq 1 \\\\ 2 x-1 & \text { se } x>1\end{array}\right.)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A função f é definida por partes:f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \text{se } x\leq 1,\\[4pt] 2x-1, & \text{se } x>1. \end{cases}
O enunciado pede o valor do limite\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1},ou, se não existir, pede justificativa.]
Passo 2
Primeiro calculemos o valor de f(1), que aparece no numerador. Como 1 pertence à condição x\leq 1, usamos a primeira expressão:
f(1)=1^{2}=1.
Portanto o quociente dado é
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{f(x)-1}{x-1}.
Passo 3
Vamos analisar o limite pela esquerda (x\to 1^{-}). Para x<1 (ou aproximando 1 pela esquerda) usamos f(x)=x^{2}. Assim o quociente torna-se
\frac{f(x)-1}{x-1}=\frac{x^{2}-1}{x-1}.
Aqui aplicamos uma fatoração algébrica clássica: x^{2}-1=(x-1)(x+1). Então, para x\neq 1,
\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.
Essa simplificação é válida para x próximos de 1 mas diferentes de 1. Agora tiramos o limite quando x\to 1^{-}:
Fatorando 2x-2=2(x-1) e simplificando (para x\neq 1) obtemos
\frac{2(x-1)}{x-1}=2.
Isso é uma constante (independe de x enquanto x\neq 1), portanto
\lim_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-1}{x-1}=2.
Passo 5
Confrontando as duas semi-limites: pela esquerda obtivemos \;2\; e pela direita também obtivemos \;2\;. Como as duas coincidem, o limite bilateral existe e vale esse mesmo número. Intuitivamente, isso significa que a inclinação da função ao se aproximar de x=1 é a mesma pelos dois lados; em termos técnicos, a diferença de quociente tende ao mesmo valor de ambos os lados.