Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. \lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} e \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}, onde (f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x+1 & \text { se } x \geq 1 \\\\ 2 x & \text { se } x<1\end{array}\right.)
Informações úteis que podemos extrair imediatamente:
Como a definição para x\geq1\] vale em \(x=1, temos f(1)=1+1=2.]
Passo 2
Explico rapidamente o que cada limite significa (sem calcular ainda).
\lim_{x\to1^{+}} é o limite pela direita: aproximações com x>1 (valores maiores que 1). Para esse limite só entram valores da peça da função que vale para x>1 (ou x\ge1).
\lim_{x\to1} é o limite bilateral: para existir ele precisa coincidir o limite pela direita e o limite pela esquerda. O limite pela esquerda usa aproximações com x<1, então usa a peça f(x)=2x.
Também note que a expressão a calcular é a razão
\frac{f(x)-f(1)}{x-1},
que para cada lado usaremos a fórmula apropriada de f(x) e simplificaremos.
Passo 3
Calcular o limite pela direita \lim_{x\to1^{+}} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}.
Para x>1 (próximo de 1 pela direita) usamos f(x)=x+1. Substituindo e lembrando f(1)=2,
devem ser iguais. Calculamos que o primeiro vale 1 e o segundo vale 2; como 1\neq2, os limites laterais são diferentes. Portanto o limite bilateral não existe.
Observação extra (útil para a prova): a expressão dada é a diferença quociente que aparece na definição de derivada. Aqui as derivadas lateral à direita e à esquerda em x=1 seriam 1 e 2 respectivamente, então f'(1) não existe — embora f seja contínua em 1 (pois f(1)=2 e os limites de f(x) por ambos os lados também valem 2).
Resposta
\lim_{x\to1^{+}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=1 \lim_{x\to1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} não existe