Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} e \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}, onde (f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x+1 & \text { se } x \geq 1 \\\\ 2 x & \text { se } x<1\end{array}\right.)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular [\lim_{x\to1^{+}} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}).
  • Calcular \lim_{x\to1} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} (limite bilateral).
A função dada é a função por partes
f(x)=\begin{cases} x+1 & \text{se } x\geq1,\\[4pt] 2x & \text{se } x<1. \end{cases}
Informações úteis que podemos extrair imediatamente:
  • Como a definição para x\geq1\] vale em \(x=1, temos f(1)=1+1=2.]

Passo 2

Explico rapidamente o que cada limite significa (sem calcular ainda).
  • \lim_{x\to1^{+}} é o limite pela direita: aproximações com x>1 (valores maiores que 1). Para esse limite só entram valores da peça da função que vale para x>1 (ou x\ge1).
  • \lim_{x\to1} é o limite bilateral: para existir ele precisa coincidir o limite pela direita e o limite pela esquerda. O limite pela esquerda usa aproximações com x<1, então usa a peça f(x)=2x.
Também note que a expressão a calcular é a razão
\frac{f(x)-f(1)}{x-1},
que para cada lado usaremos a fórmula apropriada de f(x) e simplificaremos.

Passo 3

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to1^{+}} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}.
Para x>1 (próximo de 1 pela direita) usamos f(x)=x+1. Substituindo e lembrando f(1)=2,
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{(x+1)-2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1\quad\text{para }x>1,\\ x\neq1.
Portanto a expressão vale constantemente 1 quando x está à direita de 1. O limite de uma função constante quando x\to1^{+} é essa constante, logo
\lim_{x\to1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=1.

Passo 4

Calcular o limite pela esquerda (necessário para o limite bilateral): \lim_{x\to1^{-}} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}.
Para x<1 usamos f(x)=2x. Substituindo,
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{2x-2}{x-1}=\frac{2(x-1)}{x-1}=2\quad\text{para }x<1,\\ x\neq1.
Assim a expressão vale constantemente 2 quando x está à esquerda de 1. Logo
\lim_{x\to1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2.

Passo 5

Concluir sobre o limite bilateral \lim_{x\to1}.
Para que \lim_{x\to1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} exista, é preciso que os limites laterais coincidam:
\lim_{x\to1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\quad\text{e}\quad\lim_{x\to1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}
devem ser iguais. Calculamos que o primeiro vale 1 e o segundo vale 2; como 1\neq2, os limites laterais são diferentes. Portanto o limite bilateral não existe.
Observação extra (útil para a prova): a expressão dada é a diferença quociente que aparece na definição de derivada. Aqui as derivadas lateral à direita e à esquerda em x=1 seriam 1 e 2 respectivamente, então f'(1) não existe — embora f seja contínua em 1 (pois f(1)=2 e os limites de f(x) por ambos os lados também valem 2).

Resposta

\lim_{x\to1^{+}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=1
\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} não existe

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