é encontrado que um sistema particular obedece as relações
e
onde
é constante. Encontre a equação fundamental deste sistema.
Passo 1
O enunciado dá duas relações e pede a equação fundamental do sistema. As informações fornecidas são:
onde
é constante.
O que é pedido: encontrar a equação fundamental do sistema, isto é, expressar a energia interna como função das variáveis naturais termodinâmicas (no caso padrão,
e
), ou seja obter
.
O que é pedido: encontrar a equação fundamental do sistema, isto é, expressar a energia interna
Passo 2
Relembrando uma identidade termodinâmica básica que vamos usar (explicação curta e necessária): para um sistema simples com número de partículas fixo, a primeira lei e a definição de temperatura e pressão implicam a diferencial da energia interna
Aqui:
-
é a energia interna, -
é a entropia, -
é a temperatura absoluta, -
é a pressão, -
é o volume.
A equação fundamental desejada é uma funçãocuja diferencial dê exatamente .
Passo 3
Vamos usar a relação
. Diferenciando essa igualdade (produto
) obtemos:
Como também vale a identidade termodinâmica
, igualamos as duas expressões para
:
Passando os termos com
para o mesmo lado:
ou seja
Passo 4
Agora vamos usar a outra relação dada
para eliminar
. Primeiro escrevemos
em função de
:
escolhendo o ramo positivo da raiz (temperatura absoluta positiva). Substituindo em
obtemos
Isolando
:
Comentário pedagógico: agora temos uma diferencial total em função de
e
. Verificamos que essa forma é exata (isto é, existe uma função
cuja diferencial é essa), porque
portanto as derivadas cruzadas coincidem e a diferencial é exata.
Passo 5
Integramos para obter
. Integramos primeiro em relação a
mantendo
constante:
onde
é uma função de
que surge da integração. Diferenciando essa expressão em relação a
e comparando com o coeficiente de
na expressão de
obtemos:
que deve ser igual a
. Daí
, logo
é constante. Assim
onde
é uma constante de integração (referência da entropia).
Passo 6
Queremos
como função de
e
. Usamos
(da relação
) e substituímos em
. Primeiro escrevemos
em termos de
e
:
Simplificando a raiz:
Agora isolamos
:
Quadrando e resolvendo para
:
Aqui
é a constante arbitrária de referência da entropia; muitas vezes pode-se escolher
(referência) sem perda de generalidade.
Passo 7
Verificação (importante para ter confiança no resultado): calculemos
e
a partir da equação encontrada e verifiquemos as relações iniciais.
- Derivando
em relação a (com fixo):
- Derivando em relação a
(com fixo):
portanto
Comparando
e
:
logo
satisfeita. E ainda
também é satisfeita pela construção. Isso confirma que a equação encontrada é consistente com as relações do enunciado.