é encontrado que um sistema particular obedece as relações
U=P V
e
P=B T^{2}
onde B é constante. Encontre a equação fundamental deste sistema.

Passo 1

O enunciado dá duas relações e pede a equação fundamental do sistema. As informações fornecidas são:
  • U = P\,V
  • P = B\,T^{2}
onde B é constante.
O que é pedido: encontrar a equação fundamental do sistema, isto é, expressar a energia interna U como função das variáveis naturais termodinâmicas (no caso padrão, S e V), ou seja obter \,U=U(S,V)\,.

Passo 2

Relembrando uma identidade termodinâmica básica que vamos usar (explicação curta e necessária): para um sistema simples com número de partículas fixo, a primeira lei e a definição de temperatura e pressão implicam a diferencial da energia interna
dU = T\,dS - P\,dV.
Aqui:
  • U é a energia interna,
  • S é a entropia,
  • T é a temperatura absoluta,
  • P é a pressão,
  • V é o volume.
    A equação fundamental desejada é uma função U(S,V) cuja diferencial dê exatamente \,dU = T\,dS - P\,dV.

Passo 3

Vamos usar a relação \,U=P V. Diferenciando essa igualdade (produto P\cdot V) obtemos:
dU = P\,dV + V\,dP.
Como também vale a identidade termodinâmica \,dU = T\,dS - P\,dV, igualamos as duas expressões para dU:
P\,dV + V\,dP = T\,dS - P\,dV.
Passando os termos com P\,dV para o mesmo lado:
P\,dV + V\,dP + P\,dV = T\,dS
ou seja
T\,dS = 2\,P\,dV + V\,dP.

Passo 4

Agora vamos usar a outra relação dada \,P = B\,T^{2} para eliminar T. Primeiro escrevemos T em função de P:
T = \sqrt{\dfrac{P}{B}},
escolhendo o ramo positivo da raiz (temperatura absoluta positiva). Substituindo em \,T\,dS = 2P\,dV + V\,dP obtemos
\sqrt{\dfrac{P}{B}}\,dS = 2P\,dV + V\,dP.
Isolando dS:
dS = \sqrt{B}\,\Big(2\,P^{1/2}\,dV + V\,P^{-1/2}\,dP\Big).
Comentário pedagógico: agora temos uma diferencial total em função de P e V. Verificamos que essa forma é exata (isto é, existe uma função S(P,V) cuja diferencial é essa), porque
\frac{\partial}{\partial P}\big(2\sqrt{B}\,P^{1/2}\big)=\sqrt{B}\,P^{-1/2} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial}{\partial V}\big(\sqrt{B}\,V\,P^{-1/2}\big)=\sqrt{B}\,P^{-1/2},
portanto as derivadas cruzadas coincidem e a diferencial é exata.

Passo 5

Integramos para obter S(P,V). Integramos primeiro em relação a V mantendo P constante:
S(P,V)=\sqrt{B}\,\big(2\,P^{1/2}\,V\big)+f(P),
onde f(P) é uma função de P que surge da integração. Diferenciando essa expressão em relação a P e comparando com o coeficiente de dP na expressão de dS obtemos:
\frac{\partial S}{\partial P}=\sqrt{B}\,\big(V\,P^{-1/2}\big)+f'(P)
que deve ser igual a \sqrt{B}\,V\,P^{-1/2}. Daí f'(P)=0, logo f é constante. Assim
S(P,V)=2\sqrt{B}\,V\,P^{1/2}+S_{0},
onde S_{0} é uma constante de integração (referência da entropia).

Passo 6

Queremos U como função de S e V. Usamos \,P=U/V (da relação U=PV) e substituímos em S(P,V). Primeiro escrevemos S em termos de U e V:
S = 2\sqrt{B}\,V\sqrt{P}+S_{0} = 2\sqrt{B}\,V\sqrt{\dfrac{U}{V}}+S_{0}.
Simplificando a raiz:
S = 2\sqrt{B}\,\sqrt{U}\,\sqrt{V}+S_{0} = 2\sqrt{B}\,\sqrt{U V}+S_{0}.
Agora isolamos \sqrt{U V}:
\sqrt{U V} = \dfrac{S-S_{0}}{2\sqrt{B}}.
Quadrando e resolvendo para U:
U V = \dfrac{(S-S_{0})^{2}}{4B} \quad\Rightarrow\quad U(S,V)=\dfrac{(S-S_{0})^{2}}{4B\,V}.
Aqui S_{0} é a constante arbitrária de referência da entropia; muitas vezes pode-se escolher S_{0}=0 (referência) sem perda de generalidade.

Passo 7

Verificação (importante para ter confiança no resultado): calculemos T=\partial U/\partial S e P=-\partial U/\partial V a partir da equação encontrada e verifiquemos as relações iniciais.
  • Derivando \,U(S,V)=\dfrac{(S-S_{0})^{2}}{4B\,V} em relação a S (com V fixo):
T=\frac{\partial U}{\partial S}=\dfrac{2(S-S_{0})}{4B\,V}=\dfrac{S-S_{0}}{2B\,V}.
  • Derivando em relação a V (com S fixo):
\frac{\partial U}{\partial V} = -\dfrac{(S-S_{0})^{2}}{4B\,V^{2}},
portanto
P = -\frac{\partial U}{\partial V} = \dfrac{(S-S_{0})^{2}}{4B\,V^{2}}.
Comparando P e T:
B\,T^{2} = B\left(\dfrac{S-S_{0}}{2B\,V}\right)^{2} = \dfrac{(S-S_{0})^{2}}{4B\,V^{2}} = P,
logo P=B\,T^{2} satisfeita. E ainda U=PV também é satisfeita pela construção. Isso confirma que a equação encontrada é consistente com as relações do enunciado.

Resposta

U(S,V)=\dfrac{(S-S_{0})^{2}}{4B\,V}

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