Seja f uma função tal que f^{\prime}(2)=0 e f^{\prime \prime}(2)=-1. O que podemos falar sobre o ponto c=2 ?
(a) Ele deve ser um máximo local.
(b) Ele deve ser um mínimo local.
(c) Ele deve ser um máximo global.
(d) Ele deve ser um mínimo global.

Passo 1

O enunciado dá as informações:
  • f^{\prime}(2)=0.
  • f^{\prime\prime}(2)=-1.
O que se pergunta é qual das afirmações abaixo é correta:
(a) Ele deve ser um máximo local.
(b) Ele deve ser um mínimo local.
(c) Ele deve ser um máximo global.
(d) Ele deve ser um mínimo global.

Passo 2

Vou explicar um resultado padrão que usamos aqui (passo a passo, sem pular nada): se uma função é duas vezes diferenciável num ponto c e satisfaz \,f'\text{(c)}=0, o sinal de f''\text{(c)} nos diz se c é um extremo local. A intuição: f'\text{(c)}=0 diz que a reta tangente em c é horizontal. O sinal da segunda derivada mede a curvatura (concavidade) da função perto de c:
  • Se f''\text{(c)}>0, a curva é côncava para cima perto de c (parece um “U”), então c é um mínimo local.
  • Se f''\text{(c)}<0, a curva é côncava para baixo perto de c (parece um “∩”), então c é um máximo local.
Agora vamos justificar isso de modo mais formal com um desenvolvimento de Taylor de ordem 2 (uma ferramenta que dá a expansão da função perto de c).

Passo 3

A expansão de Taylor de f em torno de c=2, até termos de ordem h^2, é
f(2+h)=f(2)+f'(2)\,h+\frac{f''(2)}{2}\,h^2+o(h^2)\quad\text{quando }h\to0.
Aqui:
  • h é um pequeno incremento (ou seja, estamos avaliando f em pontos próximos a 2, x=2+h).
  • o(h^2) significa termos que, divididos por h^2, tendem a zero quando h\to0 (termos de ordem estritamente maior que h^2).
Substituindo os dados do enunciado \,f'(2)=0 e \,f''(2)=-1, obtemos
f(2+h)=f(2)+\frac{-1}{2}\,h^2+o(h^2)=f(2)-\tfrac{1}{2}h^2+o(h^2).
Para h suficientemente pequeno e h\neq0, o termo dominante à ordem h^2 é -\tfrac{1}{2}h^2, que é negativo. O termo o(h^2) é pequeno comparado com h^2, então para h pequeno o somatório -\tfrac{1}{2}h^2+o(h^2) permanece negativo. Assim, para todo h com 0<|h|<\delta (algum \delta>0 suficientemente pequeno),
f(2+h)<f(2).
Isto significa exatamente que f(2) é maior que os valores de f em todos os pontos suficientemente próximos (à esquerda e à direita): 2 é um máximo local.

Passo 4

Portanto, com os dados fornecidos podemos afirmar com certeza que c=2 é um máximo local. Essa conclusão é robusta: requer apenas que f seja duas vezes diferenciável em 2 (o que está implícito ao usar f''(2)).
Entretanto, NÃO se pode afirmar que é um máximo global. Para ver por quê, basta dar um exemplo concreto de função que satisfaz \,f'(2)=0 e \,f''(2)=-1 mas que atinge valores maiores em pontos mais afastados (logo 2 não é máximo global). Um exemplo simples e suave é
f(x)=-\tfrac{1}{2}(x-2)^2+(x-2)^4.
Verificações:
  • Derivando, observa-se que f'(2)=0 porque todos os termos lineares em (x-2) desaparecem em x=2.
  • A segunda derivada em 2 é f''(2)=-1 porque a segunda derivada do termo -\tfrac{1}{2}(x-2)^2 é -1 e a segunda derivada do termo (x-2)^4 é 12(x-2)^2, que vale 0 em x=2.
  • No entanto, para |x-2| grande o termo (x-2)^4 domina e f(x)\to+\infty quando |x|\to\infty. Logo existem pontos com f(x)>f(2), ou seja, 2 não é máximo global neste exemplo.
Assim, o sinal de f''(2) determina apenas um extremo local, não garante nada sobre ser extremo global.

Passo 5

Resumo didático e prático para a prova (guarde este raciocínio curto na cabeça):
  • Se f'\text{(c)}=0 e f''\text{(c)}<0 então c é um máximo local (por Taylor/concavidade).
  • Não se pode deduzir máximo ou mínimo global apenas a partir de derivadas locais; é preciso informação sobre o comportamento da função em toda a região/domínio.
Força aí — essa é uma das ferramentas que cai bastante em prova: verificar f'\text{(c)}=0 e olhar o sinal de f''\text{(c)}.

Resposta

(a) Ele deve ser um máximo local.

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