Seja
uma função tal que
e
. O que podemos falar sobre o ponto
?
(a) Ele deve ser um máximo local.
(b) Ele deve ser um mínimo local.
(c) Ele deve ser um máximo global.
(d) Ele deve ser um mínimo global.
(a) Ele deve ser um máximo local.
(b) Ele deve ser um mínimo local.
(c) Ele deve ser um máximo global.
(d) Ele deve ser um mínimo global.
Passo 1
O enunciado dá as informações:
-
. -
.
O que se pergunta é qual das afirmações abaixo é correta:
(a) Ele deve ser um máximo local.
(b) Ele deve ser um mínimo local.
(c) Ele deve ser um máximo global.
(d) Ele deve ser um mínimo global.
(a) Ele deve ser um máximo local.
(b) Ele deve ser um mínimo local.
(c) Ele deve ser um máximo global.
(d) Ele deve ser um mínimo global.
Passo 2
Vou explicar um resultado padrão que usamos aqui (passo a passo, sem pular nada): se uma função é duas vezes diferenciável num ponto
e satisfaz
, o sinal de
nos diz se
é um extremo local. A intuição:
diz que a reta tangente em
é horizontal. O sinal da segunda derivada mede a curvatura (concavidade) da função perto de
:
- Se
, a curva é côncava para cima perto de (parece um “U”), então é um mínimo local. - Se
, a curva é côncava para baixo perto de (parece um “∩”), então é um máximo local.
Agora vamos justificar isso de modo mais formal com um desenvolvimento de Taylor de ordem 2 (uma ferramenta que dá a expansão da função perto de
).
Passo 3
A expansão de Taylor de
em torno de
, até termos de ordem
, é
Aqui:
-
é um pequeno incremento (ou seja, estamos avaliando em pontos próximos a , ). -
significa termos que, divididos por , tendem a zero quando (termos de ordem estritamente maior que ).
Substituindo os dados do enunciado
e
, obtemos
Para
suficientemente pequeno e
, o termo dominante à ordem
é
, que é negativo. O termo
é pequeno comparado com
, então para
pequeno o somatório
permanece negativo. Assim, para todo
com
(algum
suficientemente pequeno),
Isto significa exatamente que
é maior que os valores de
em todos os pontos suficientemente próximos (à esquerda e à direita):
é um máximo local.
Passo 4
Portanto, com os dados fornecidos podemos afirmar com certeza que
é um máximo local. Essa conclusão é robusta: requer apenas que
seja duas vezes diferenciável em
(o que está implícito ao usar
).
Entretanto, NÃO se pode afirmar que é um máximo global. Para ver por quê, basta dar um exemplo concreto de função que satisfaz
e
mas que atinge valores maiores em pontos mais afastados (logo
não é máximo global). Um exemplo simples e suave é
Verificações:
- Derivando, observa-se que
porque todos os termos lineares em desaparecem em . - A segunda derivada em
é porque a segunda derivada do termo é e a segunda derivada do termo é , que vale em . - No entanto, para
grande o termo domina e quando . Logo existem pontos com , ou seja, não é máximo global neste exemplo.
Assim, o sinal de
determina apenas um extremo local, não garante nada sobre ser extremo global.
Passo 5
Resumo didático e prático para a prova (guarde este raciocínio curto na cabeça):
- Se
e então é um máximo local (por Taylor/concavidade). - Não se pode deduzir máximo ou mínimo global apenas a partir de derivadas locais; é preciso informação sobre o comportamento da função em toda a região/domínio.
Força aí — essa é uma das ferramentas que cai bastante em prova: verificar
e olhar o sinal de
.
Resposta
(a) Ele deve ser um máximo local.