Calcule.
\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt[3]{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to\infty}\sqrt[3]{x}.
Informações dadas e relevantes:
  • A função considerada é f(x)=\sqrt[3]{x}.
  • O limite é quando x tende para +\infty.
  • A raiz cúbica está definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vamos recordar o que significa dizer que o limite de f(x) quando x\to\infty é +\infty. Por definição:
\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty
significa que para todo M>0 existe X tal que, sempre que x>X, vale f(x)>M.
Aqui, M representa qualquer número grande que se queira, e X é um ponto além do qual a função ultrapassa esse M.

Passo 3

Uma ideia útil é trabalhar com a função cúbica g(y)=y^3 e sua inversa. Primeiro, mostro que g é estritamente crescente: se a>b então
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).
Como a-b>0 e a^2+ab+b^2>0, segue a^3-b^3>0, logo a^3>b^3. Portanto g(y)=y^3 preserva a ordem. Isso implica que g tem inversa bem definida para todo real, e a inversa é exatamente g^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}, que também é crescente.

Passo 4

Use uma substituição simples para tornar o raciocínio direto. Defina
y=\sqrt[3]{x}.
Isso implica que
x=y^3.
Queremos entender o comportamento de y quando x\to\infty. Aplicando a definição do Passo 2: dado qualquer M>0, escolha
X=M^3.
Se x>X então, como a função \sqrt[3]{\cdot} é crescente,
\sqrt[3]{x}>\sqrt[3]{X}=M.
Ou seja, sempre que x>M^3 temos \sqrt[3]{x}>M. Isso é exatamente a condição da definição para afirmar que \sqrt[3]{x} tende a +\infty quando x\to\infty.

Passo 5

Conclusão e interpretação intuitiva: a raiz cúbica cresce sem limites (embora devagar); não existe um número real finito que limite \sqrt[3]{x} quando x cresce indefinidamente. Pelo argumento formal do Passo 4, \sqrt[3]{x} pode ser tornada maior do que qualquer M>0 escolhendo x suficientemente grande (por exemplo x>M^3).

Resposta

\infty

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