Calcule.
Passo 1
O enunciado pede calcular
Informações dadas e relevantes:
- A função considerada é
. - O limite é quando
tende para . - A raiz cúbica está definida para todo
.
Passo 2
Vamos recordar o que significa dizer que o limite de
quando
é
. Por definição:
significa que para todo
existe
tal que, sempre que
, vale
.
Aqui, representa qualquer número grande que se queira, e
é um ponto além do qual a função ultrapassa esse
.
Aqui,
Passo 3
Uma ideia útil é trabalhar com a função cúbica
e sua inversa. Primeiro, mostro que
é estritamente crescente: se
então
Como
e
, segue
, logo
. Portanto
preserva a ordem. Isso implica que
tem inversa bem definida para todo real, e a inversa é exatamente
, que também é crescente.
Passo 4
Use uma substituição simples para tornar o raciocínio direto. Defina
Isso implica que
Queremos entender o comportamento de
quando
. Aplicando a definição do Passo 2: dado qualquer
, escolha
Se
então, como a função
é crescente,
Ou seja, sempre que
temos
. Isso é exatamente a condição da definição para afirmar que
tende a
quando
.
Passo 5
Conclusão e interpretação intuitiva: a raiz cúbica cresce sem limites (embora devagar); não existe um número real finito que limite
quando
cresce indefinidamente. Pelo argumento formal do Passo 4,
pode ser tornada maior do que qualquer
escolhendo
suficientemente grande (por exemplo
).