Calcule
(a) -1
(b) 1
(c) 0
(d)
(b) 1
(c) 0
(d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
As opções fornecidas são:
(a)
(b)
(c)
(d) .
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 2
Primeiro, vou reescrever a expressão de forma mais manejável, fatorando
:
Uma forma útil de ver isso é transformar em uma razão que tende a uma forma conhecida. Note que
Essa escrita é conveniente porque, quando
, temos
. Então é natural fazer a substituição
e o limite se transforma em
Passo 3
Agora precisamos calcular
Vou explicar duas maneiras simples e intuitivas para ver esse limite — escolha a que te agradar mais na prova.
Método A — derivada no ponto
: lembrando a definição de derivada, para uma função
com derivada em
,
Aqui
e
. Como a derivada de
é
, então
. Portanto
Esse é um argumento curto: a razão é exatamente o quociente diferencial que define
.
Método B — expansão de Taylor (intuição com séries): para
pequeno,
Substituindo na razão,
e ao fazer
os termos restantes somem para
, então o limite é
.
Ambos os caminhos dão o mesmo resultado:
Passo 4
Voltando à mudança de variável, isso implica
Portanto o valor do limite é
, que corresponde à alternativa (b).
Resposta
1