Calcule
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x e^{1 / x}-x\right)
(a) -1
(b) 1
(c) 0
(d) \infty

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to\infty}\left(x e^{1/x}-x\right).
As opções fornecidas são:
(a) -1
(b) 1
(c) 0
(d) \infty.

Passo 2

Primeiro, vou reescrever a expressão de forma mais manejável, fatorando x:
x e^{1/x}-x = x\bigl(e^{1/x}-1\bigr).
Uma forma útil de ver isso é transformar em uma razão que tende a uma forma conhecida. Note que
x\bigl(e^{1/x}-1\bigr)=\frac{e^{1/x}-1}{1/x}.
Essa escrita é conveniente porque, quando x\to\infty, temos 1/x\to 0^+. Então é natural fazer a substituição
u=\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad u\to 0^+ \text{ quando } x\to\infty,
e o limite se transforma em
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{1/x}-1}{1/x}=\lim_{u\to 0^+}\frac{e^{u}-1}{u}.

Passo 3

Agora precisamos calcular
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}.
Vou explicar duas maneiras simples e intuitivas para ver esse limite — escolha a que te agradar mais na prova.
Método A — derivada no ponto 0: lembrando a definição de derivada, para uma função f com derivada em 0,
f'(0)=\lim_{u\to 0}\frac{f(u)-f(0)}{u}.
Aqui f(u)=e^{u} e f(0)=e^{0}=1. Como a derivada de e^{u} é f'(u)=e^{u}, então f'(0)=e^{0}=1. Portanto
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Esse é um argumento curto: a razão é exatamente o quociente diferencial que define f'(0).
Método B — expansão de Taylor (intuição com séries): para u pequeno,
e^{u}=1+u+\frac{u^{2}}{2}+\text{termos de ordem superior}.
Substituindo na razão,
\frac{e^{u}-1}{u}=\frac{u+\dfrac{u^{2}}{2}+\cdots}{u}=1+\frac{u}{2}+\cdots,
e ao fazer u\to 0 os termos restantes somem para 0, então o limite é 1.
Ambos os caminhos dão o mesmo resultado:
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.

Passo 4

Voltando à mudança de variável, isso implica
\lim_{x\to\infty}\left(x e^{1/x}-x\right)=1.
Portanto o valor do limite é 1, que corresponde à alternativa (b).

Resposta

1

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