Exercício 4: Dados os pontos A=(1,1,1), B=(1,4,1), C=(3,4,3) e D=(4,1,1) definidos nas questões anteriores:
(a) Obtenha a equação vetorial da reta p que passa por C e D.
(b) Obtenha a distância d_{p q} entre as retas p e q (que passa por A e B, definida no item (b) da questão 2).
(c) Obtenha a equação geral do plano \gamma definido pelos pontos A, B e D.
(d) Obten ha o cosseno do ângulo \theta entre os planos \gamma e \pi.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
A=(1,1,1).
B=(1,4,1).
C=(3,4,3).
D=(4,1,1).
A reta q passa por A e B (essa reta foi definida no item (b) da questão 2).
Perguntas:
(a) Obter a equação vetorial da reta p que passa por C e D.
(b) Calcular a distância d_{p q} entre as retas p e q.
(c) Obter a equação geral do plano \gamma definido pelos pontos A,B,D.
(d) Obter o cosseno do ângulo \theta entre os planos \gamma e \pi.
Passo 2
(a) Obter a equação vetorial da reta p que passa por C e D.
Como construir a equação vetorial de uma reta: se uma reta passa por um ponto P_0 com posição \mathbf{r}_0 e tem vetor diretor \mathbf{v}, sua equação vetorial é
Agora a fórmula prática para a distância entre duas retas não paralelas (ou entre retas possivelmente reversas) em \mathbb{R}^3 é:
se p:\mathbf{r}_p(t)=\mathbf{r}_1+t\mathbf{v} e q:\mathbf{r}_q(s)=\mathbf{r}_2+s\mathbf{u}, então a distância entre as retas (menor distância entre pontos de uma e outra) é
Explicação rápida da fórmula: \mathbf{u}\times\mathbf{v} é um vetor perpendicular a ambos os vetores diretores; o produto escalar (\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) dá (em módulo) o volume do paralelepípedo formado por \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathbf{u},\mathbf{v}; dividir pelo área da base \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\| fornece a altura desse paralelepípedo — que é exatamente a distância entre as retas.
Aplicando com \mathbf{r}_1=C=(3,4,3), \mathbf{r}_2=A=(1,1,1), \mathbf{v}=\mathbf{v}_p=(1,-3,-2) e \mathbf{u}=(0,3,0):
Portanto a distância entre p e q é \dfrac{6}{\sqrt{5}} (ou \dfrac{6\sqrt{5}}{5} racionalizado).
Passo 4
(c) Obter a equação geral do plano \gamma definido pelos pontos A,B,D.
Procedimento: um plano pode ser escrito na forma
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0,
onde \mathbf{n} é um vetor normal ao plano e \mathbf{r}_0 é um ponto do plano. Para obter \mathbf{n} usamos o produto vetorial de dois vetores diretores do plano. Tomamos \mathbf{v}_1=B-A e \mathbf{v}_2=D-A.
ou seja \,z=1. Observação: todos os pontos A,B,D têm coordenada z=1, o que confirma que o plano é horizontal.
Passo 5
(d) Obter o cosseno do ângulo \theta entre os planos \gamma e \pi.
Para calcular o ângulo entre dois planos usa-se os vetores normais \mathbf{n}_\gamma e \mathbf{n}_\pi desses planos: se \theta é o ângulo entre os planos então o ângulo entre os normais é também \theta (ou seu suplementar), e vale
No nosso caso já temos \mathbf{n}_\gamma=(0,0,1) (ou proporcional). Porém o problema pede o cosseno do ângulo entre \gamma e \pi, e o enunciado não fornece a definição do plano \pi nem um vetor normal a \pi. Sem a descrição de \pi (por exemplo três pontos do plano \pi ou sua equação) não é possível calcular numericamente \cos\theta.
Portanto não há informação suficiente para obter um valor numérico de \cos\theta. Se a equação (ou um vetor normal) do plano \pi fosse fornecida, aplicaríamos a fórmula acima para obter \cos\theta.