Exercício 4: Dados os pontos A=(1,1,1), B=(1,4,1), C=(3,4,3) e D=(4,1,1) definidos nas questões anteriores:
(a) Obtenha a equação vetorial da reta p que passa por C e D.
(b) Obtenha a distância d_{p q} entre as retas p e q (que passa por A e B, definida no item (b) da questão 2).
(c) Obtenha a equação geral do plano \gamma definido pelos pontos A, B e D.
(d) Obten ha o cosseno do ângulo \theta entre os planos \gamma e \pi.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • A=(1,1,1).
  • B=(1,4,1).
  • C=(3,4,3).
  • D=(4,1,1).
  • A reta q passa por A e B (essa reta foi definida no item (b) da questão 2).
Perguntas:
(a) Obter a equação vetorial da reta p que passa por C e D.
(b) Calcular a distância d_{p q} entre as retas p e q.
(c) Obter a equação geral do plano \gamma definido pelos pontos A,B,D.
(d) Obter o cosseno do ângulo \theta entre os planos \gamma e \pi.

Passo 2

(a) Obter a equação vetorial da reta p que passa por C e D.
Como construir a equação vetorial de uma reta: se uma reta passa por um ponto P_0 com posição \mathbf{r}_0 e tem vetor diretor \mathbf{v}, sua equação vetorial é
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+t\mathbf{v},\qquad t\in\mathbb{R},
onde \mathbf{r}(t) é o vetor posição genérico de um ponto da reta.
Aqui podemos usar C como ponto de referência. Calculamos o vetor diretor \mathbf{v}_p como D-C:
\mathbf{v}_p = D-C = (4-3,\;1-4,\;1-3) = (1,-3,-2).
Portanto uma equação vetorial para p é, tomando \mathbf{r}_0=C=(3,4,3):
\mathbf{r}_p(t) = (3,4,3) + t(1,-3,-2),\qquad t\in\mathbb{R}.
Em coordenadas paramétricas:
x=3+t,\qquad y=4-3t,\qquad z=3-2t.

Passo 3

(b) Calcular a distância d_{p q} entre as retas p e q.
Primeiro obtemos a equação da reta q que passa por A e B. O vetor diretor \mathbf{u} de q é
\mathbf{u}=B-A=(1-1,\;4-1,\;1-1)=(0,3,0).
Podemos tomar \mathbf{r}_q(s)=A+s\mathbf{u}=(1,1,1)+s(0,3,0).
Agora a fórmula prática para a distância entre duas retas não paralelas (ou entre retas possivelmente reversas) em \mathbb{R}^3 é:
se p:\mathbf{r}_p(t)=\mathbf{r}_1+t\mathbf{v} e q:\mathbf{r}_q(s)=\mathbf{r}_2+s\mathbf{u}, então a distância entre as retas (menor distância entre pontos de uma e outra) é
d_{pq}=\frac{\big|(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\big|}{\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|}.
Explicação rápida da fórmula: \mathbf{u}\times\mathbf{v} é um vetor perpendicular a ambos os vetores diretores; o produto escalar (\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) dá (em módulo) o volume do paralelepípedo formado por \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2,\mathbf{u},\mathbf{v}; dividir pelo área da base \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\| fornece a altura desse paralelepípedo — que é exatamente a distância entre as retas.
Aplicando com \mathbf{r}_1=C=(3,4,3), \mathbf{r}_2=A=(1,1,1), \mathbf{v}=\mathbf{v}_p=(1,-3,-2) e \mathbf{u}=(0,3,0):
  1. Calcular \mathbf{u}\times\mathbf{v}:
\mathbf{u}\times\mathbf{v} = (0,3,0)\times(1,-3,-2).
Fazendo o produto vetorial (determinante):
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=(-6,\;0,\;-3).
  1. Norma de \mathbf{u}\times\mathbf{v}:
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=\sqrt{(-6)^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.
  1. Vetor \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2=C-A=(3-1,\,4-1,\,3-1)=(2,3,2).
  2. Produto escalar:
(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=(2,3,2)\cdot(-6,0,-3)=2(-6)+3(0)+2(-3)=-12-6=-18.
Módulo: |-18|=18.
  1. Distância:
d_{pq}=\frac{18}{3\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}.
Portanto a distância entre p e q é \dfrac{6}{\sqrt{5}} (ou \dfrac{6\sqrt{5}}{5} racionalizado).

Passo 4

(c) Obter a equação geral do plano \gamma definido pelos pontos A,B,D.
Procedimento: um plano pode ser escrito na forma
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0,
onde \mathbf{n} é um vetor normal ao plano e \mathbf{r}_0 é um ponto do plano. Para obter \mathbf{n} usamos o produto vetorial de dois vetores diretores do plano. Tomamos \mathbf{v}_1=B-A e \mathbf{v}_2=D-A.
Calculemos:
\mathbf{v}_1=B-A=(0,3,0),\qquad \mathbf{v}_2=D-A=(4-1,\;1-1,\;1-1)=(3,0,0).
Produto vetorial:
\mathbf{n}=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2=(0,3,0)\times(3,0,0)=(0,0,-9).
Podemos simplificar e usar como normal (0,0,1) (multiplicando por -\tfrac{1}{9} se quisermos).
Agora escrevemos a equação com o ponto A=(1,1,1):
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-A)=0 \quad\Rightarrow\quad (0,0,1)\cdot(x-1,y-1,z-1)=0.
Isso dá simplesmente
z-1=0.
A forma geral padrão é
0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z-1=0,
ou seja \,z=1. Observação: todos os pontos A,B,D têm coordenada z=1, o que confirma que o plano é horizontal.

Passo 5

(d) Obter o cosseno do ângulo \theta entre os planos \gamma e \pi.
Para calcular o ângulo entre dois planos usa-se os vetores normais \mathbf{n}_\gamma e \mathbf{n}_\pi desses planos: se \theta é o ângulo entre os planos então o ângulo entre os normais é também \theta (ou seu suplementar), e vale
\cos\theta = \frac{|\mathbf{n}_\gamma\cdot\mathbf{n}_\pi|}{\|\mathbf{n}_\gamma\|\;\|\mathbf{n}_\pi\|}.
No nosso caso já temos \mathbf{n}_\gamma=(0,0,1) (ou proporcional). Porém o problema pede o cosseno do ângulo entre \gamma e \pi, e o enunciado não fornece a definição do plano \pi nem um vetor normal a \pi. Sem a descrição de \pi (por exemplo três pontos do plano \pi ou sua equação) não é possível calcular numericamente \cos\theta.
Portanto não há informação suficiente para obter um valor numérico de \cos\theta. Se a equação (ou um vetor normal) do plano \pi fosse fornecida, aplicaríamos a fórmula acima para obter \cos\theta.

Resposta

(a) \mathbf{r}_p(t)=(3,4,3)+t(1,-3,-2),\\ t\in\mathbb{R}.
(b) d_{pq}=\dfrac{6}{\sqrt{5}}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}.
(c) Equação geral do plano \gamma: z-1=0.
(d) Não é possível determinar numericamente \cos\theta: o plano \pi não foi especificado (falta a equação ou um vetor normal de \pi).

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