Calcule
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}
(a) \pi
(b) e
(c) \infty
(d) 1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 0^{+}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}.
Informações relevantes que temos:
  • O que acontece com x quando x\to 0^{+}: o expoente tende para 0.
  • O que acontece com \dfrac{1}{x} quando x\to 0^{+}: \dfrac{1}{x}\to +\infty.
  • Portanto a expressão dentro do limite tem a aparência de uma forma indeterminada do tipo \infty^{0} (base tende a +\infty e expoente tende a 0).
  • O enunciado apresenta alternativas múltipla escolha: (a) \pi, (b) e, (c) \infty, (d) 1.

Passo 2

Por que escolher a técnica que vamos usar: quando temos potências em que tanto a base quanto o expoente variam (aqui base vai para \infty e expoente para 0), o procedimento padrão é tomar o logaritmo natural da expressão. Isso transforma a potência em produto e o produto em uma forma de limite mais fácil de tratar (frequentemente usando L’Hospital). Então vamos definir a função cujo limite queremos e trabalhar com seu logaritmo.

Passo 3

Defina
y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}.
Tomando o logaritmo natural em ambos os lados (isso é permitido desde que y>0, e aqui a expressão é positiva para x>0):
\ln y = x\cdot \ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right).
Agora vamos estudar o limite de \ln y quando x\to 0^{+}. Se \lim_{x\to0^{+}}\ln y = L, então \lim_{x\to0^{+}} y = e^{L}.

Passo 4

Reescrevemos a expressão de \ln y de forma mais conveniente, usando a substituição t=\dfrac{1}{x}. Quando x\to 0^{+} temos t\to +\infty e x=\dfrac{1}{t}. Assim
\ln y = x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{t}\ln(1+t)=\frac{\ln(1+t)}{t}.
Portanto precisamos calcular
\lim_{t\to+\infty}\frac{\ln(1+t)}{t}.

Passo 5

Análise do limite \displaystyle\lim_{t\to+\infty}\dfrac{\ln(1+t)}{t}.
  • O numerador \ln(1+t)\to +\infty e o denominador t\to +\infty. Temos uma forma \dfrac{\infty}{\infty}, então podemos aplicar a Regra de L’Hospital (condição: numerador e denominador diferenciáveis e ambos tendendo a \infty).
  • Derivando numerador e denominador em relação a t: \frac{d}{dt}\big(\ln(1+t)\big)=\frac{1}{1+t},\qquad \frac{d}{dt}(t)=1.
  • Aplicando L’Hospital: \lim_{t\to+\infty}\frac{\ln(1+t)}{t}=\lim_{t\to+\infty}\frac{1}{1+t}.
  • Como \dfrac{1}{1+t}\to 0 quando t\to+\infty, concluímos que \lim_{t\to+\infty}\frac{\ln(1+t)}{t}=0.

Passo 6

Voltando para \ln y: obtivemos
\lim_{x\to 0^{+}}\ln y = 0.
Portanto
\lim_{x\to 0^{+}} y = \lim_{x\to 0^{+}} e^{\ln y} = e^{0}=1.
Uma interpretação intuitiva: o logaritmo cresce muito mais devagar que a própria variável t, então \dfrac{\ln(1+t)}{t} vai a zero; isso significa que a potência \infty^{0} tende para 1 neste caso.

Passo 7

Resumo final e incentivo rápido: concluímos de forma rigorosa que o limite pedido vale 1. Mandou bem por trazer a questão — essas indeterminações aparecem muito em provas e o truque do log é o mais confiável. Continue praticando que isso fica automático!

Resposta

(d) 1

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