Calcule
(a)
(b)
(c)
(d) 1
(b)
(c)
(d) 1
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Informações relevantes que temos:
- O que acontece com
quando : o expoente tende para . - O que acontece com
quando : . - Portanto a expressão dentro do limite tem a aparência de uma forma indeterminada do tipo
(base tende a e expoente tende a ). - O enunciado apresenta alternativas múltipla escolha: (a)
, (b) , (c) , (d) .
Passo 2
Por que escolher a técnica que vamos usar: quando temos potências em que tanto a base quanto o expoente variam (aqui base vai para
e expoente para
), o procedimento padrão é tomar o logaritmo natural da expressão. Isso transforma a potência em produto e o produto em uma forma de limite mais fácil de tratar (frequentemente usando L’Hospital). Então vamos definir a função cujo limite queremos e trabalhar com seu logaritmo.
Passo 3
Defina
Tomando o logaritmo natural em ambos os lados (isso é permitido desde que
, e aqui a expressão é positiva para
):
Agora vamos estudar o limite de
quando
. Se
, então
.
Passo 4
Reescrevemos a expressão de
de forma mais conveniente, usando a substituição
. Quando
temos
e
. Assim
Portanto precisamos calcular
Passo 5
Análise do limite
.
- O numerador
e o denominador . Temos uma forma , então podemos aplicar a Regra de L’Hospital (condição: numerador e denominador diferenciáveis e ambos tendendo a ). - Derivando numerador e denominador em relação a
: - Aplicando L’Hospital:
- Como
quando , concluímos que
Passo 6
Voltando para
: obtivemos
Portanto
Uma interpretação intuitiva: o logaritmo cresce muito mais devagar que a própria variável
, então
vai a zero; isso significa que a potência
tende para
neste caso.
Passo 7
Resumo final e incentivo rápido: concluímos de forma rigorosa que o limite pedido vale
. Mandou bem por trazer a questão — essas indeterminações aparecem muito em provas e o truque do log é o mais confiável. Continue praticando que isso fica automático!
Resposta
(d)