Exercício 5: Dados os pontos A=(1,1,1), B=(1,4,1), C=(3,4,3) e D=(4,1,1) definidos nas questões anteriores:
(a) Determine o volume V do paralelepípedo definido pelos vetores B-A, D-A e C-A.
(b) Determine o seno do ângulo \varphi entre a reta p (que passa por C e D, definida no item (a) da questão 4) e o plano \pi.

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos
  • A=(1,1,1),
  • B=(1,4,1),
  • C=(3,4,3),
  • D=(4,1,1).
As perguntas são:
(a) Determinar o volume V do paralelepípedo gerado pelos vetores \,B-A,\;D-A e C-A.
(b) Determinar o seno do ângulo \varphi entre a reta p (que passa por C e D) e o plano \pi.
Observação importante (assunção necessária): o enunciado faz referência ao plano \pi definido em uma questão anterior que não foi enviada aqui. Entre as escolhas naturais, o plano determinado pelos pontos A,B,D é especialmente simples porque A,B,D têm a mesma coordenada z=1, portanto esse plano é o plano horizontal z=1. Vou assumir que esse plano é o plano \pi pedido. Se a sua prova/questão usar outro plano, me avise depois — aqui sigo essa hipótese porque é a mais provável e facilita fazer tudo explicitamente.

Passo 2

Calcular os vetores que aparecem no item (a). Subtrair coordenada a coordenada:
B-A = (1,4,1)-(1,1,1) = (0,3,0),
D-A = (4,1,1)-(1,1,1) = (3,0,0),
C-A = (3,4,3)-(1,1,1) = (2,3,2).
Vou chamar esses vetores de \mathbf{u}=B-A, \mathbf{v}=D-A, \mathbf{w}=C-A, ou seja
\mathbf{u}=(0,3,0),\qquad \mathbf{v}=(3,0,0),\qquad \mathbf{w}=(2,3,2).

Passo 3

Explicar a fórmula do volume do paralelepípedo e aplicá-la.
  • Teoria: o volume (com sinal) do paralelepípedo formado por três vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} em \mathbb{R}^3 é o produto escalar triplo \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}). O volume positivo é o valor absoluto desse produto:
V = \left|\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\right|.
Aqui \mathbf{v}\times\mathbf{w} é o produto vetorial (dá um vetor perpendicular aos dois) e \mathbf{u}\cdot(\cdot) é o produto escalar.
Vamos calcular passo a passo \mathbf{v}\times\mathbf{w}:
\mathbf{v}\times\mathbf{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 3 & 0 & 0\\[3pt] 2 & 3 & 2 \end{vmatrix}.
Usando a definição do produto vetorial:
\mathbf{v}\times\mathbf{w} = (0\cdot 2 - 0\cdot 3,\;0\cdot 2 - 3\cdot 2,\;3\cdot 3 - 0\cdot 2) = (0,-6,9).
Agora o produto escalar com \mathbf{u}=(0,3,0):
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) = (0,3,0)\cdot(0,-6,9) = 0\cdot0 + 3\cdot(-6) + 0\cdot9 = -18.
Portanto o volume (valor absoluto) é
V = |-18| = 18.
Comentário didático rápido: o produto vetorial entregou um vetor cuja componente z foi 9, e o produto escalar com \mathbf{u} acabou pegando apenas a componente y de \mathbf{v}\times\mathbf{w} multiplicada por 3, daí o -18. Dá para fazer tudo com contas pequenas sem calculadora.]

Passo 4

Preparar o cálculo do seno do ângulo entre reta e plano.
  • Primeiro, direção da reta p que passa por C e D: podemos usar o vetor direção \mathbf{d}=D-C (ou C-D, a direção só muda de sinal, o ângulo não muda). Calculamos:
\mathbf{d}=D-C = (4,1,1)-(3,4,3) = (1,-3,-2).
  • Segundo, normal do plano \pi. Pela suposição feita, \pi é o plano determinado por A,B,D. Um vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelo produto vetorial de dois vetores do plano, por exemplo \mathbf{u}=B-A e \mathbf{v}=D-A (já calculados). Então:
\mathbf{n} = \mathbf{u}\times\mathbf{v} = (0,3,0)\times(3,0,0).
Calculemos \mathbf{n} explicitamente:
\mathbf{n} = (0\cdot 0 - 0\cdot 0,\;0\cdot 3 - 0\cdot 3,\;0\cdot 0 - 3\cdot 3) = (0,0,-9).
Observação: isso confirma que o plano é horizontal (normal ao eixo z); de fato A,B,D têm z=1, então o plano é z=1. Podemos usar a versão normalizada \mathbf{n} ou qualquer múltiplo; nas fórmulas só interessa a direção e a norma.

Passo 5

Relacionar ângulo entre reta e plano com produto escalar e calcular o seno.
  • Teoria: seja \varphi o ângulo entre a reta (com vetor direção \mathbf{d}) e o plano (com normal \mathbf{n}). Seja \alpha o ângulo entre \mathbf{d} e \mathbf{n}. Temos \varphi = 90^\circ - \alpha. Assim
\sin\varphi = \cos\alpha = \frac{|\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{d}\|\;\|\mathbf{n}\|}.
Explicando: o produto escalar fornece \cos\alpha = \dfrac{\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}}{\|\mathbf{d}\|\|\mathbf{n}\|}; como \sin\varphi=\cos\alpha e usamos valor absoluto porque queremos seno positivo.
  • Calcular agora os componentes:
\mathbf{d}\cdot\mathbf{n} = (1,-3,-2)\cdot(0,0,-9) = 1\cdot 0 + (-3)\cdot 0 + (-2)\cdot(-9) = 18.
\|\mathbf{d}\| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}.
\|\mathbf{n}\| = \sqrt{0^2+0^2+(-9)^2} = 9.
Logo
\sin\varphi = \frac{|\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{d}\|\;\|\mathbf{n}\|} = \frac{18}{9\sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{14}}.
Podemos simplificar essa raiz:
\frac{2}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{4}{14}} = \sqrt{\frac{2}{7}}.
Ambas as formas são equivalentes; escolho a forma \sqrt{\dfrac{2}{7}} por ficar mais compacta.

Resposta

V = 18
\displaystyle \sin\varphi = \sqrt{\dfrac{2}{7}}

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