Exercício 5: Dados os pontos A=(1,1,1), B=(1,4,1), C=(3,4,3) e D=(4,1,1) definidos nas questões anteriores:
(a) Determine o volume V do paralelepípedo definido pelos vetores B-A, D-A e C-A.
(b) Determine o seno do ângulo \varphi entre a reta p (que passa por C e D, definida no item (a) da questão 4) e o plano \pi.
Passo 1
O enunciado nos dá os pontos
A=(1,1,1),
B=(1,4,1),
C=(3,4,3),
D=(4,1,1).
As perguntas são:
(a) Determinar o volume V do paralelepípedo gerado pelos vetores \,B-A,\;D-A e C-A.
(b) Determinar o seno do ângulo \varphi entre a reta p (que passa por C e D) e o plano \pi.
Observação importante (assunção necessária): o enunciado faz referência ao plano \pi definido em uma questão anterior que não foi enviada aqui. Entre as escolhas naturais, o plano determinado pelos pontos A,B,D é especialmente simples porque A,B,D têm a mesma coordenada z=1, portanto esse plano é o plano horizontal z=1. Vou assumir que esse plano é o plano \pi pedido. Se a sua prova/questão usar outro plano, me avise depois — aqui sigo essa hipótese porque é a mais provável e facilita fazer tudo explicitamente.
Passo 2
Calcular os vetores que aparecem no item (a). Subtrair coordenada a coordenada:
B-A = (1,4,1)-(1,1,1) = (0,3,0),
D-A = (4,1,1)-(1,1,1) = (3,0,0),
C-A = (3,4,3)-(1,1,1) = (2,3,2).
Vou chamar esses vetores de \mathbf{u}=B-A, \mathbf{v}=D-A, \mathbf{w}=C-A, ou seja
Explicar a fórmula do volume do paralelepípedo e aplicá-la.
Teoria: o volume (com sinal) do paralelepípedo formado por três vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} em \mathbb{R}^3 é o produto escalar triplo \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}). O volume positivo é o valor absoluto desse produto:
V = \left|\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\right|.
Aqui \mathbf{v}\times\mathbf{w} é o produto vetorial (dá um vetor perpendicular aos dois) e \mathbf{u}\cdot(\cdot) é o produto escalar.
Vamos calcular passo a passo \mathbf{v}\times\mathbf{w}:
Comentário didático rápido: o produto vetorial entregou um vetor cuja componente z foi 9, e o produto escalar com \mathbf{u} acabou pegando apenas a componente y de \mathbf{v}\times\mathbf{w} multiplicada por 3, daí o -18. Dá para fazer tudo com contas pequenas sem calculadora.]
Passo 4
Preparar o cálculo do seno do ângulo entre reta e plano.
Primeiro, direção da reta p que passa por C e D: podemos usar o vetor direção \mathbf{d}=D-C (ou C-D, a direção só muda de sinal, o ângulo não muda). Calculamos:
\mathbf{d}=D-C = (4,1,1)-(3,4,3) = (1,-3,-2).
Segundo, normal do plano \pi. Pela suposição feita, \pi é o plano determinado por A,B,D. Um vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelo produto vetorial de dois vetores do plano, por exemplo \mathbf{u}=B-A e \mathbf{v}=D-A (já calculados). Então:
Observação: isso confirma que o plano é horizontal (normal ao eixo z); de fato A,B,D têm z=1, então o plano é z=1. Podemos usar a versão normalizada \mathbf{n} ou qualquer múltiplo; nas fórmulas só interessa a direção e a norma.
Passo 5
Relacionar ângulo entre reta e plano com produto escalar e calcular o seno.
Teoria: seja \varphi o ângulo entre a reta (com vetor direção \mathbf{d}) e o plano (com normal \mathbf{n}). Seja \alpha o ângulo entre \mathbf{d} e \mathbf{n}. Temos \varphi = 90^\circ - \alpha. Assim
Explicando: o produto escalar fornece \cos\alpha = \dfrac{\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}}{\|\mathbf{d}\|\|\mathbf{n}\|}; como \sin\varphi=\cos\alpha e usamos valor absoluto porque queremos seno positivo.