Calcule
\lim _{u \rightarrow-\infty} \frac{12 u^{6}+34 u^{3}-1}{1-u^{6}+u}

Passo 1

O que o problema pede e o que temos:
  • Queremos calcular \displaystyle \lim_{u\to -\infty} \frac{12u^{6}+34u^{3}-1}{1-u^{6}+u}.
  • Observações importantes extraídas do enunciado:
    • A variável u tende para -\infty.
    • No numerador o maior grau de u é 6 (termo 12u^{6}).
    • No denominador o maior grau de u também é 6 (termo -u^{6}).
  • O enunciado pede o valor desse limite (um único número real).

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): para funções racionais (quociente de polinômios) quando u\to\pm\infty os termos de maior grau dominam o comportamento; termos de grau menor tornam-se desprezíveis. Em particular:
  • Se os graus do numerador e do denominador forem iguais, o limite quando u\to\pm\infty é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
    Vou mostrar isso de forma algébrica e explícita para não deixar dúvidas.

Passo 3

Aplicando a técnica de dividir pelo maior grau: vou dividir numerador e denominador por u^{6} (o maior expoente que aparece), passo a passo. Primeiro escrevo a fração e fatoro u^{6} em numerador e denominador:
\frac{12u^{6}+34u^{3}-1}{1-u^{6}+u} = \frac{u^{6}\!\left(12+\dfrac{34}{u^{3}}-\dfrac{1}{u^{6}}\right)}{u^{6}\!\left(-1+\dfrac{1}{u^{5}}+\dfrac{1}{u^{6}}\right)}.

Passo 4

Cancelamento e comportamento das parcelas pequenas:
  • Posso cancelar u^{6} porque, para u\to -\infty, u\neq 0 (e u^{6}>0 por ser potência par), então
\frac{12u^{6}+34u^{3}-1}{1-u^{6}+u} = \frac{12+\dfrac{34}{u^{3}}-\dfrac{1}{u^{6}}}{-1+\dfrac{1}{u^{5}}+\dfrac{1}{u^{6}}}.
  • Agora, quando u\to -\infty, todas as parcelas com potências negativas de u tendem a zero:
    • \displaystyle \frac{34}{u^{3}}\to 0,
    • \displaystyle \frac{1}{u^{6}}\to 0,
    • \displaystyle \frac{1}{u^{5}}\to 0.
      Isso vale porque, para u com módulo muito grande, 1/|u|^{k} fica muito pequeno para qualquer k>0.

Passo 5

Tomando o limite das expressões reduzidas:
\lim_{u\to -\infty}\frac{12+\dfrac{34}{u^{3}}-\dfrac{1}{u^{6}}}{-1+\dfrac{1}{u^{5}}+\dfrac{1}{u^{6}}} = \frac{12+0-0}{-1+0+0}=\frac{12}{-1}=-12.
Portanto o valor do limite é -12.

Resposta

-12

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