Calcule
Passo 1
O que o problema pede e o que temos:
- Queremos calcular
. - Observações importantes extraídas do enunciado:
- A variável
tende para . - No numerador o maior grau de
é (termo ). - No denominador o maior grau de
também é (termo ).
- A variável
- O enunciado pede o valor desse limite (um único número real).
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): para funções racionais (quociente de polinômios) quando
os termos de maior grau dominam o comportamento; termos de grau menor tornam-se desprezíveis. Em particular:
- Se os graus do numerador e do denominador forem iguais, o limite quando
é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Vou mostrar isso de forma algébrica e explícita para não deixar dúvidas.
Passo 3
Aplicando a técnica de dividir pelo maior grau: vou dividir numerador e denominador por
(o maior expoente que aparece), passo a passo. Primeiro escrevo a fração e fatoro
em numerador e denominador:
Passo 4
Cancelamento e comportamento das parcelas pequenas:
- Posso cancelar
porque, para , (e por ser potência par), então
- Agora, quando
, todas as parcelas com potências negativas de tendem a zero: -
, -
, -
.
Isso vale porque, paracom módulo muito grande, fica muito pequeno para qualquer .
-
Passo 5
Tomando o limite das expressões reduzidas:
Portanto o valor do limite é
.