Calcule:
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que nos dá.
- O enunciado pede o valor do limite
- Informação dada:
- A base é
(ou seja, um número positivo menor que ). - A variável
tende para .
- A base é
Nada mais é pedido além de encontrar esse limite.
Passo 2
Entender o comportamento do expoente
quando
.
- Para todo
, . Quando , temos , logo
- Portanto
- Observação importante: como
para , o expoente aproxima-se de por valores positivos; isto é, .
Passo 3
Converter a potência numa forma mais conveniente usando logaritmo/exponencial — uma técnica padrão para limites envolvendo bases fixas e expoentes que tendem a zero.
- Seja
- Tomando logaritmo natural (função
) dos dois lados, obtemos
- Aqui
é um número fixo e finito. Como , sabemos que , mas o sinal não impede a manipulação; é só um valor finito multiplicado por .
Passo 4
Calcular o limite do logaritmo e passar de volta pela exponencial.
- Usando que
e que é constante, pelo limite do produto:
- Agora usamos que a função exponencial
é contínua em . Assim, aplicando ao limite do logaritmo:
Passo 5
Interpretação intuitiva (para lembrar na prova):
- Para qualquer base positiva
, se um expoente tende a , então . - No caso de
(como ), a aproximação é feita por valores levemente menores que , mas o limite é . Ou seja, quando .