Calcule:
\lim _{x \rightarrow-\infty}(0,6)^{1 / x^{2}}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que nos dá.
  • O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(0,6\right)^{1/x^{2}}.
  • Informação dada:
    • A base é \,0,6 (ou seja, um número positivo menor que 1).
    • A variável x tende para -\infty.
Nada mais é pedido além de encontrar esse limite.

Passo 2

Entender o comportamento do expoente \,1/x^{2} quando x\rightarrow-\infty.
  • Para todo x, x^{2}\ge 0. Quando x\rightarrow-\infty, temos |x|\rightarrow+\infty, logo
x^{2}\rightarrow+\infty.
  • Portanto
\frac{1}{x^{2}}\rightarrow 0.
  • Observação importante: como x^{2}>0 para x\neq 0, o expoente \dfrac{1}{x^{2}} aproxima-se de 0 por valores positivos; isto é, \dfrac{1}{x^{2}}\to 0^{+}.

Passo 3

Converter a potência numa forma mais conveniente usando logaritmo/exponencial — uma técnica padrão para limites envolvendo bases fixas e expoentes que tendem a zero.
  • Seja
y(x)=\left(0,6\right)^{1/x^{2}}.
  • Tomando logaritmo natural (função \ln) dos dois lados, obtemos
\ln y(x)=\frac{1}{x^{2}}\ln\!\left(0,6\right).
  • Aqui \ln\!\left(0,6\right) é um número fixo e finito. Como \,0,6\in(0,1), sabemos que \ln\!\left(0,6\right)<0, mas o sinal não impede a manipulação; é só um valor finito multiplicado por \dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Calcular o limite do logaritmo e passar de volta pela exponencial.
  • Usando que \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 e que \ln\!\left(0,6\right) é constante, pelo limite do produto:
\lim_{x\to -\infty}\ln y(x)=\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{2}}\ln\!\left(0,6\right)=0\cdot\ln\!\left(0,6\right)=0.
  • Agora usamos que a função exponencial e^{t} é contínua em t. Assim, aplicando e^{(\cdot)} ao limite do logaritmo:
\lim_{x\to -\infty}y(x)=\lim_{x\to -\infty}e^{\ln y(x)}=e^{\lim_{x\to -\infty}\ln y(x)}=e^{0}=1.

Passo 5

Interpretação intuitiva (para lembrar na prova):
  • Para qualquer base positiva a\neq 0, se um expoente tende a 0, então a^{\text{expoente}}\to 1.
  • No caso de a\in(0,1) (como 0,6), a aproximação é feita por valores levemente menores que 1, mas o limite é 1. Ou seja, \left(0,6\right)^{t}\to 1 quando t\to 0.

Resposta

1

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