Calcule:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \sqrt[x-100]{2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow -\infty} \sqrt[x-100]{2}.
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • A expressão envolve a raiz de índice x-100 aplicada ao número 2.
  • O número 2 é positivo, então faz sentido estender a definição de raiz para índices reais por meio de potências reais.
  • O que se pede é o valor numérico que a expressão aproxima quando x tende a -\infty.

Passo 2

Reescrever a expressão de forma mais conveniente. Para base positiva e índice real, define-se a raiz como potência:
\sqrt[x-100]{2}=2^{\frac{1}{x-100}}.
Explicação didática: aqui não há problema com índices não inteiros porque a base 2 é positiva; portanto a operação é bem definida como potência real. Isso torna o limite mais fácil de manipular usando propriedades de potências e logaritmos.

Passo 3

Faça a mudança y=2^{\frac{1}{x-100}} para trabalhar com logaritmo natural, que costuma facilitar limites com potências. Aplicando \ln em ambos os lados obtém-se
\ln y=\frac{\ln 2}{x-100}.
A ideia: calcular o limite de \ln y e depois retornar para y exponenciando. Isso funciona porque a função e^t (ou seja, a exponencial) é contínua: limite do logaritmo leva ao logaritmo do limite, e vice-versa depois de exponenciar.

Passo 4

Calcular o limite de \ln y. Como x\rightarrow -\infty temos x-100\rightarrow -\infty. Então o denominador tende ao infinito em módulo, e
\lim_{x\to -\infty}\frac{\ln 2}{x-100}=0.
Justificativa didática: \ln 2 é uma constante finita; dividir uma constante por uma quantidade cuja magnitude cresce sem limite (aqui com sinal negativo) produz algo que vai para 0. Não importa o sinal, o limite é 0 — neste caso a fração tende a 0 vindo pelo lado negativo, mas o valor limite é 0.

Passo 5

Voltar para y. Como \ln y \to 0 e a exponencial é contínua,
\lim_{x\to -\infty} y = \lim_{x\to -\infty} e^{\ln y} = e^{\;0\;}=1.
Ou, de forma direta usando continuidade da função u\mapsto 2^{u}: como \dfrac{1}{x-100}\to 0, então 2^{1/(x-100)}\to 2^{0}=1.

Resposta

1

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