Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações fornecidas e observações imediatas:
- A expressão envolve a raiz de índice
aplicada ao número . - O número
é positivo, então faz sentido estender a definição de raiz para índices reais por meio de potências reais. - O que se pede é o valor numérico que a expressão aproxima quando
tende a .
Passo 2
Reescrever a expressão de forma mais conveniente. Para base positiva e índice real, define-se a raiz como potência:
Explicação didática: aqui não há problema com índices não inteiros porque a base
é positiva; portanto a operação é bem definida como potência real. Isso torna o limite mais fácil de manipular usando propriedades de potências e logaritmos.
Passo 3
Faça a mudança
para trabalhar com logaritmo natural, que costuma facilitar limites com potências. Aplicando
em ambos os lados obtém-se
A ideia: calcular o limite de
e depois retornar para
exponenciando. Isso funciona porque a função
(ou seja, a exponencial) é contínua: limite do logaritmo leva ao logaritmo do limite, e vice-versa depois de exponenciar.
Passo 4
Calcular o limite de
. Como
temos
. Então o denominador tende ao infinito em módulo, e
Justificativa didática:
é uma constante finita; dividir uma constante por uma quantidade cuja magnitude cresce sem limite (aqui com sinal negativo) produz algo que vai para
. Não importa o sinal, o limite é
— neste caso a fração tende a
vindo pelo lado negativo, mas o valor limite é
.
Passo 5
Voltar para
. Como
e a exponencial é contínua,
Ou, de forma direta usando continuidade da função
: como
, então
.