Observação sobre domínio: para x\neq -1 tem-se (x+1)^{2}>0, então \frac{1}{(x+1)^{2}}>0 e o \ln está definido. Em x=-1 a expressão é indefinida (divisão por zero).
Passo 3
Usar propriedades do log para simplificar a expressão do limite.
Propriedade útil: para a>0 vale \ln(a^{-1})=-\ln(a).
Simplificar ainda mais usando a propriedade do log da potência.
Propriedade: para a>0 e k\in\mathbb{R} vale \ln(a^{k})=k\ln(a).
Como (x+1)^{2}>0 para x\neq -1, podemos escrever
-\ln\left((x+1)^{2}\right)=-2\ln\bigl|x+1\bigr|.
Nota sobre o valor absoluto: quando se aplica \ln a (x+1)^{2} é equivalente a 2\ln|x+1| porque |x+1|>0 e (x+1)^{2}=(|x+1|)^{2}.
Passo 5
Estudar o comportamento de \ln|x+1| quando x\to-1.
Faça a substituição auxiliar h=x+1. Então x\to-1 equivale a h\to 0.
Estamos interessados em \ln|h| quando h\to 0.
Conhecimento-chave (explicado): a função \ln(t) para t>0 tem o comportamento de ir para -\infty quando t\to 0^{+}. Ou seja,
\lim_{t\to 0^{+}}\ln(t)=-\infty.
Aplicando com t=|h|>0, obtemos
\lim_{h\to 0}\ln|h|=-\infty.
Aqui não há diferença entre h\to 0^{+} e h\to 0^{-} porque usamos |h|, que é sempre positivo e tende a 0^{+}.
Passo 6
Combinar o resultado anterior com o fator -2 que apareceu ao simplificar.
Temos que a expressão original é igual a -2\ln|x+1|. Então, com h=x+1,
\lim_{x\to-1}-2\ln|x+1|=\lim_{h\to 0}-2\ln|h|.
Como \lim_{h\to 0}\ln|h|=-\infty, multiplicando por -2 (número negativo) dá
-2\cdot(-\infty)=+\infty.
Intuição: \ln|h| diverge para -\infty muito lentamente quando h vai a zero; o sinal negativo inverte para +\infty, e o fator 2 apenas escala a velocidade da divergência.
Passo 7
Verificação das direções (laterais) para garantir que o limite é o mesmo vindo dos dois lados.
Para x\to-1^{+} temos x+1>0 e \ln|x+1|=\ln(x+1)\to -\infty.
Para x\to-1^{-} temos x+1<0 mas |x+1|=-(x+1)\to 0^{+}, então \ln|x+1|\to -\infty também.
Em ambas as direções a expressão -2\ln|x+1| tende a +\infty. Portanto o limite bilateral é +\infty.