Calcule:
\lim _{x \rightarrow-1}\left(\ln \left(x^{2}+2 x+1\right)^{-1}\right)

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e o que é dado.
  • Pede-se calcular o limite
\lim_{x\to-1}\left(\ln\left(x^{2}+2x+1\right)^{-1}\right).
  • Informação relevante que o enunciado dá (explícita na expressão):
    • A expressão dentro do log é \left(x^{2}+2x+1\right)^{-1}.
    • O ponto de interesse é x=-1, onde a expressão pode ficar problemática (possível indeterminação ou singularidade).

Passo 2

Fatorar a expressão quadrática para ver melhor a forma e o domínio.
  • Note que
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
  • Assim a expressão dentro do log fica
\left(x^{2}+2x+1\right)^{-1}=\left((x+1)^{2}\right)^{-1}=\frac{1}{(x+1)^{2}}.
  • Observação sobre domínio: para x\neq -1 tem-se (x+1)^{2}>0, então \frac{1}{(x+1)^{2}}>0 e o \ln está definido. Em x=-1 a expressão é indefinida (divisão por zero).

Passo 3

Usar propriedades do log para simplificar a expressão do limite.
  • Propriedade útil: para a>0 vale \ln(a^{-1})=-\ln(a).
  • Aplicando aqui:
\ln\left((x+1)^{2}\right)^{-1}=-\ln\left((x+1)^{2}\right).

Passo 4

Simplificar ainda mais usando a propriedade do log da potência.
  • Propriedade: para a>0 e k\in\mathbb{R} vale \ln(a^{k})=k\ln(a).
  • Como (x+1)^{2}>0 para x\neq -1, podemos escrever
-\ln\left((x+1)^{2}\right)=-2\ln\bigl|x+1\bigr|.
  • Nota sobre o valor absoluto: quando se aplica \ln a (x+1)^{2} é equivalente a 2\ln|x+1| porque |x+1|>0 e (x+1)^{2}=(|x+1|)^{2}.

Passo 5

Estudar o comportamento de \ln|x+1| quando x\to-1.
  • Faça a substituição auxiliar h=x+1. Então x\to-1 equivale a h\to 0.
  • Estamos interessados em \ln|h| quando h\to 0.
  • Conhecimento-chave (explicado): a função \ln(t) para t>0 tem o comportamento de ir para -\infty quando t\to 0^{+}. Ou seja,
\lim_{t\to 0^{+}}\ln(t)=-\infty.
  • Aplicando com t=|h|>0, obtemos
\lim_{h\to 0}\ln|h|=-\infty.
  • Aqui não há diferença entre h\to 0^{+} e h\to 0^{-} porque usamos |h|, que é sempre positivo e tende a 0^{+}.

Passo 6

Combinar o resultado anterior com o fator -2 que apareceu ao simplificar.
  • Temos que a expressão original é igual a -2\ln|x+1|. Então, com h=x+1,
\lim_{x\to-1}-2\ln|x+1|=\lim_{h\to 0}-2\ln|h|.
  • Como \lim_{h\to 0}\ln|h|=-\infty, multiplicando por -2 (número negativo) dá
-2\cdot(-\infty)=+\infty.
  • Intuição: \ln|h| diverge para -\infty muito lentamente quando h vai a zero; o sinal negativo inverte para +\infty, e o fator 2 apenas escala a velocidade da divergência.

Passo 7

Verificação das direções (laterais) para garantir que o limite é o mesmo vindo dos dois lados.
  • Para x\to-1^{+} temos x+1>0 e \ln|x+1|=\ln(x+1)\to -\infty.
  • Para x\to-1^{-} temos x+1<0 mas |x+1|=-(x+1)\to 0^{+}, então \ln|x+1|\to -\infty também.
  • Em ambas as direções a expressão -2\ln|x+1| tende a +\infty. Portanto o limite bilateral é +\infty.

Resposta

+\infty

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