Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\log _{5}\left(1 / x^{2}\right)\right.

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{x\to 0} \log_{5}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right).
Informações importantes dadas:
  • A função é o logaritmo na base 5 de 1/x^{2}.
  • O limite é quando x tende a 0 (duas vias, pela direita e pela esquerda).
  • A expressão está bem definida para todo x\neq 0, pois 1/x^{2}>0 sempre.
  • Precisamos determinar se o limite é um número finito ou se diverge (por +\infty ou -\infty).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão usando propriedades de logaritmos. Lembre que para a>0 e b real vale \log_{a}(y^{b})=b\log_{a}(y). Aqui o argumento é 1/x^{2}, que é positivo, então podemos escrever:
\log_{5}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=\log_{5}\!\big(x^{-2}\big)=-2\log_{5}\!\big(|x|\big).
Explico por que usei |x|: a propriedade \log(y^{2})=2\log(y) exige que y>0; como x pode ser negativo, escrevemos x^{2}=(|x|)^{2} e aplicamos a propriedade com |x|>0.

Passo 3

Outra forma útil (mais direta para analisar limites) é usar mudança de base para logaritmo natural. Para qualquer y>0,
\log_{5}(y)=\frac{\ln(y)}{\ln(5)}.
Aplicando com y=1/x^{2} e usando \ln(5)>0, obtemos
\log_{5}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=\frac{\ln\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}{\ln(5)}=\frac{-2\ln\!\big(|x|\big)}{\ln(5)}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento de \ln\big(|x|\big) quando x\to 0. Para t>0, sabe-se que
\lim_{t\to 0^{+}}\ln(t)=-\infty.
Isto é fácil de ver com exemplos numéricos: \ln(0,1)\approx-2{,}30, \ln(0,01)\approx-4{,}60, etc.; à medida que t fica menor, \ln(t) fica muito negativo. Portanto, ao tomar t=|x| e x\to 0 temos \ln\big(|x|\big)\to -\infty.

Passo 5

Voltando à expressão \dfrac{-2\ln\big(|x|\big)}{\ln(5)}: como \ln\big(|x|\big)\to -\infty, o numerador -2\ln\big(|x|\big) tende a +\infty. O denominador \ln(5) é uma constante positiva, então ao dividir por \ln(5) o sinal e a tendência para +\infty são preservados. Portanto a expressão inteira tende a +\infty.

Passo 6

Comentario alternativo (sequência): se tomar uma sequência x_{n}=1/n que tende a 0, então
\log_{5}\!\left(\frac{1}{x_{n}^{2}}\right)=\log_{5}(n^{2})\to+\infty
quando n\to\infty. Como isso vale para qualquer sequência que vá a 0 (pela dependência apenas de |x|), o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

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