Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite:
Informações importantes dadas:
- A função é o logaritmo na base
de . - O limite é quando
tende a (duas vias, pela direita e pela esquerda). - A expressão está bem definida para todo
, pois sempre. - Precisamos determinar se o limite é um número finito ou se diverge (por
ou ).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão usando propriedades de logaritmos. Lembre que para
e
real vale
. Aqui o argumento é
, que é positivo, então podemos escrever:
Explico por que usei
: a propriedade
exige que
; como
pode ser negativo, escrevemos
e aplicamos a propriedade com
.
Passo 3
Outra forma útil (mais direta para analisar limites) é usar mudança de base para logaritmo natural. Para qualquer
,
Aplicando com
e usando
, obtemos
Passo 4
Agora analisamos o comportamento de
quando
. Para
, sabe-se que
Isto é fácil de ver com exemplos numéricos:
,
, etc.; à medida que
fica menor,
fica muito negativo. Portanto, ao tomar
e
temos
.
Passo 5
Voltando à expressão
: como
, o numerador
tende a
. O denominador
é uma constante positiva, então ao dividir por
o sinal e a tendência para
são preservados. Portanto a expressão inteira tende a
.
Passo 6
Comentario alternativo (sequência): se tomar uma sequência
que tende a
, então
quando
. Como isso vale para qualquer sequência que vá a
(pela dependência apenas de
), o limite é
.