Calcule:
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{6-7 x}{1-x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite unilaterial
\lim_{x\to1^{+}} \frac{6-7x}{1-x}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A aproximação é pela direita, isto é x>1 e x\to1.
  • A função é uma razão de polinômios simples \dfrac{6-7x}{1-x}.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): quando temos uma razão \dfrac{A(x)}{B(x)} e, ao aproximar x a um ponto, A(x) tende a um número finito diferente de zero e B(x) tende a zero, o quociente tende a infinito em módulo. O sinal ( +\infty ou -\infty) é determinado pelos sinais de A(x) e de B(x) ao se aproximarem do ponto pela direção indicada.

Passo 3

Calcular os limites separados do numerador e do denominador ao aproximar x por 1^{+}.
\lim_{x\to1^{+}}(6-7x)=6-7\cdot1= -1.
\lim_{x\to1^{+}}(1-x)=0,
mas note o sinal: para x>1 vale 1-x<0, portanto \lim_{x\to1^{+}}(1-x)=0^{-} (tende a zero pela esquerda, isto é, valores negativos pequenos).

Passo 4

Análise do sinal e conclusão direta: numerador tende a -1 (negativo e não nulo) e denominador tende a 0^{-} (negativo muito pequeno). Dividindo, um número negativo por um número negativo muito pequeno dá um valor positivo de módulo muito grande, portanto o limite diverge para +\infty.

Passo 5

Alternativa algébrica que deixa o sinal mais claro: multiplicando numerador e denominador por -1,
\frac{6-7x}{1-x}=\frac{7x-6}{x-1}.
Agora, ao x\to1^{+} temos \lim_{x\to1^{+}}(7x-6)=7\cdot1-6=1>0 e \lim_{x\to1^{+}}(x-1)=0^{+}. Logo quociente positivo dividido por um número positivo muito pequeno tende a +\infty.

Passo 6

Verificação numérica rápida para intuição: para x=1,01,
\frac{6-7x}{1-x}=\frac{7\cdot1,01-6}{1,01-1}\approx\frac{1,07}{0,01}=107,
um número grande e positivo, coerente com a conclusão anterior.

Resposta

+\infty

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