Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(2-5 x)^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O que o problema pede: calcular \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}(2-5x)^{\frac{1}{x}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é (2-5x)^{1/x}.
  • Quando x\to0^{+} temos 2-5x\to 2 (que é maior que 1).
  • Quando x\to0^{+} temos \dfrac{1}{x}\to +\infty.
  • Para x suficientemente próximo de 0 pela direita, 2-5x>0, logo a expressão está bem definida e é positiva.

Passo 2

Estratégia útil (transformação logarítmica): quando uma expressão tem a forma a(x)^{b(x)} com a(x)>0, é comum estudar o logaritmo natural para transformar potência em produto. Defino
L=\lim_{x\to0^{+}}(2-5x)^{\frac{1}{x}}.
Se eu conseguir entender o comportamento de \ln\big((2-5x)^{1/x}\big), posso usar a função exponencial (que é contínua) para recuperar L. Escrevo
\ln\big((2-5x)^{1/x}\big)=\frac{\ln(2-5x)}{x}.
Como 2-5x>0 para x perto de 0^{+}, essa transformação é válida.

Passo 3

Analisar o limite do logaritmo:
S:=\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(2-5x)}{x}.
Se S=+\infty então L=\exp(S)=+\infty. Se S fosse finito, então L=\exp(S). Vamos calcular S.

Passo 4

Decomponho o logaritmo usando \ln(ab)=\ln a+\ln b aplicada a 2-5x=2\big(1-\tfrac{5}{2}x\big):
\ln(2-5x)=\ln 2+\ln\!\big(1-\tfrac{5}{2}x\big).
Logo
\frac{\ln(2-5x)}{x}=\frac{\ln 2}{x}+\frac{1}{x}\ln\!\big(1-\tfrac{5}{2}x\big).

Passo 5

Calculo separadamente os dois termos do lado direito.
  1. Para o primeiro termo, \ln 2 é uma constante positiva; portanto
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln 2}{x}=+\infty,
pois dividir uma constante positiva por um x que tende a 0^{+} +\infty.
  1. Para o segundo termo, uso o fato fundamental
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Aqui tomo t=-\tfrac{5}{2}x, que tende a 0 quando x\to0. Então
\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{x}\ln\!\big(1-\tfrac{5}{2}x\big) =\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(1+t)}{x} \quad\text{com }t=-\tfrac{5}{2}x.
Escrevo
\frac{\ln(1+t)}{x}=\frac{\ln(1+t)}{t}\cdot\frac{t}{x}=\frac{\ln(1+t)}{t}\cdot\big(-\tfrac{5}{2}\big).
Tomando limites,
\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{x}\ln\!\big(1-\tfrac{5}{2}x\big) =\big(1\big)\cdot\big(-\tfrac{5}{2}\big)=-\tfrac{5}{2}.

Passo 6

Juntando os dois termos do Passo 4 e os resultados do Passo 5:
S=\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(2-5x)}{x}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln 2}{x}+\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{x}\ln\!\big(1-\tfrac{5}{2}x\big)=+\infty +\big(-\tfrac{5}{2}\big)=+\infty.
Portanto o expoente \dfrac{\ln(2-5x)}{x} diverge para +\infty quando x\to0^{+}.

Passo 7

Conclusão sobre o limite original: como
\ln\big((2-5x)^{1/x}\big)\to +\infty,
temos
(2-5x)^{1/x}=\exp\!\left(\frac{\ln(2-5x)}{x}\right)\to \exp(+\infty)=+\infty.
Intuição rápida: a base tende para 2>1 enquanto o expoente tende para +\infty, então a potência explode para infinito.

Resposta

\infty

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