Calcule:
Passo 1
O que o problema pede: calcular
.
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é
. - Quando
temos (que é maior que ). - Quando
temos . - Para
suficientemente próximo de pela direita, , logo a expressão está bem definida e é positiva.
Passo 2
Estratégia útil (transformação logarítmica): quando uma expressão tem a forma
com
, é comum estudar o logaritmo natural para transformar potência em produto. Defino
Se eu conseguir entender o comportamento de
, posso usar a função exponencial (que é contínua) para recuperar
. Escrevo
Como
para
perto de
, essa transformação é válida.
Passo 3
Analisar o limite do logaritmo:
Se
então
. Se
fosse finito, então
. Vamos calcular
.
Passo 4
Decomponho o logaritmo usando
aplicada a
:
Logo
Passo 5
Calculo separadamente os dois termos do lado direito.
- Para o primeiro termo,
é uma constante positiva; portanto
pois dividir uma constante positiva por um
que tende a
dá
.
- Para o segundo termo, uso o fato fundamental
Aqui tomo
, que tende a
quando
. Então
Escrevo
Tomando limites,
Passo 6
Juntando os dois termos do Passo 4 e os resultados do Passo 5:
Portanto o expoente
diverge para
quando
.
Passo 7
Conclusão sobre o limite original: como
temos
Intuição rápida: a base tende para
enquanto o expoente tende para
, então a potência explode para infinito.