Calcule:
\lim _{x \rightarrow 3^{+}}(\ln x)

Passo 1

O problema pede claramente para calcular o limite lateral direito
\lim_{x\to 3^{+}} (\ln x).
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
  • A função envolvida é x\mapsto \ln x, a função logaritmo natural.
  • O ponto de interesse é x=3.
  • O limite é lateral direito, ou seja, estamos interessados no comportamento de \ln x para x>3 quando x se aproxima de 3.

Passo 2

Entendendo o que significa \lim_{x\to 3^{+}} \ln x.
Definição verbal (intuitiva): \lim_{x\to 3^{+}} \ln x = L significa que, ao pegar valores de x maiores que 3 mas cada vez mais próximos de 3, os valores de \ln x se aproximam arbitrariamente de um número L. Em outras palavras, olhando só para a direita de 3, queremos ver se \ln x converge para algum valor quando x tende a 3.

Passo 3

Conceito útil: continuidade e limites.
Uma propriedade muito prática que usamos em provas é: se uma função f é contínua num ponto a, então
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
E, em particular, as duas limites laterais coincidem com o valor da função:
\lim_{x\to a^{+}} f(x)=\lim_{x\to a^{-}} f(x)=f(a).
Então, para calcular \lim_{x\to 3^{+}} \ln x é suficiente verificar se \ln x é contínua em x=3.

Passo 4

Por que \ln x é contínua em x=3?
Explicação didática e simples:
  • A função \ln x está definida para todo x>0.
  • Uma maneira direta de ver continuidade é notar que \ln x é diferenciável em todo x>0 (a derivada existe e é dada por \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x} para x>0).
  • Fato importante: se uma função é diferenciável num ponto, então ela é contínua nesse ponto. (Intuição: a derivada mede a variação infinitesimal da função; se essa variação existe de forma finita, não há salto.)
  • Como a derivada \dfrac{1}{x} existe e é finita em x=3, concluímos que \ln x é diferenciável em 3 e, portanto, contínua em 3.
Portanto podemos aplicar a propriedade do Passo 3: o limite lateral direito vale o valor da função em 3.

Passo 5

Aplicando o resultado: como \ln x é contínua em 3, tem-se
\lim_{x\to 3^{+}} \ln x = \ln 3.

Passo 6

Um pouco de intuição numérica (para sentir o resultado): se x=3,1 então \ln(3,1)\approx 1,131; se x=3,01 então \ln(3,01)\approx 1,101; ao aproximar x de 3 vindo da direita os valores se aproximam de \ln 3\approx 1,098612\ldots. Isso confirma a conclusão prática.

Resposta

\ln 3

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