Calcule:
\lim _{x \rightarrow-1} x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado: calcular
\lim_{x\to -1} \left(x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right).
Informações relevantes que temos imediatamente: a expressão é um polinômio em x (soma de potências de x de 0 a 5). O ponto de interesse é x=-1. Não há outras condições no enunciado.

Passo 2

Conceito útil (explicado de forma bem direta): polinômios são funções contínuas em todos os pontos reais. “Função contínua” aqui significa que a aproximação do valor da função pelo valor da variável leva ao valor da função — formalmente, para uma função contínua f vale \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Aplicação prática: como a função
f(x)=x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1
é um polinômio, ela é contínua em x=-1. Então podemos calcular o limite simplesmente substituindo x=-1:
\lim_{x\to -1} f(x)=f(-1).

Passo 3

Calcular f(-1) por substituição direta, avaliando cada potência de -1 com calma:
(-1)^5 = -1,\qquad (-1)^4 = 1,\qquad (-1)^3 = -1,
(-1)^2 = 1,\qquad (-1)^1 = -1,\qquad (-1)^0 = 1.
Agora somamos esses termos na ordem dada:
(-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1.
Agrupando em pares fica claro:
((-1)+1) + ((-1)+1) + ((-1)+1) = 0 + 0 + 0 = 0.
Logo f(-1)=0.

Passo 4

Método alternativo (útil para ver outra visão): reconhecer a soma como uma progressão geométrica finita.
Para x\neq 1,
1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}=\frac{x^{6}-1}{x-1}.
Substituindo x=-1 nessa expressão (a fórmula é válida para x=-1 porque o denominador x-1 é -2, não zero), obtemos
\frac{(-1)^{6}-1}{-1-1}=\frac{1-1}{-2}=\frac{0}{-2}=0,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

0

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