(1 pt). Determine a equação da reta tangente no gráfico da funçāo f(x)=\frac{x^{3}-1}{x^{3}+x+1} no ponto (1,0).

Passo 1

O enunciado nos dá a função \displaystyle f(x)=\frac{x^{3}-1}{x^{3}+x+1} e pede a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,0).
Informações relevantes:
  • Função: \displaystyle f(x)=\frac{x^{3}-1}{x^{3}+x+1}.
  • Ponto onde a tangente é pedida: (x_0,y_0)=(1,0).
  • O que é pedido: equação da reta tangente ao gráfico de f em (1,0).

Passo 2

Ideia geral para resolver: a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente num ponto é dada pela derivada f'(x) avaliada nesse ponto. Depois usamos a forma ponto-inclinação da reta para escrever a equação da tangente:
\text{reta:}\quad y-y_0=m(x-x_0),
onde m=f'(x_0), x_0=1, y_0=0. Primeiro calculamos f'(x).

Passo 3

Vamos usar a regra do quociente para derivar \displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}. A regra do quociente diz:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.
Aqui:
  • u(x)=x^{3}-1,
  • v(x)=x^{3}+x+1.
    Explicando: u' é a derivada de u em relação a x e v' é a derivada de v em relação a x. O denominador fica v^2.

Passo 4

Calcular u' e v':
u(x)=x^{3}-1\quad\Rightarrow\quad u'(x)=3x^{2}.
v(x)=x^{3}+x+1\quad\Rightarrow\quad v'(x)=3x^{2}+1.
Justificativa rápida: a derivada de x^{3} é 3x^{2} e a derivada de uma constante é 0; a derivada de x é 1.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{(3x^{2})(x^{3}+x+1)-(x^{3}-1)(3x^{2}+1)}{(x^{3}+x+1)^{2}}.
Agora expandimos cuidadosamente os numeradores passo a passo.

Passo 6

Expandindo cada termo do numerador:
(3x^{2})(x^{3}+x+1)=3x^{5}+3x^{3}+3x^{2},
(x^{3}-1)(3x^{2}+1)=3x^{5}+x^{3}-3x^{2}-1.
Subtraindo:
(3x^{5}+3x^{3}+3x^{2})-(3x^{5}+x^{3}-3x^{2}-1)=2x^{3}+6x^{2}+1.
Portanto o numerador simplificado é 2x^{3}+6x^{2}+1.

Passo 7

Logo a derivada fica:
f'(x)=\frac{2x^{3}+6x^{2}+1}{(x^{3}+x+1)^{2}}.
Agora avaliamos em x_0=1 para obter a inclinação da tangente:
\text{numerador em }x=1:\quad 2\cdot1^{3}+6\cdot1^{2}+1=2+6+1=9,
\text{denominador em }x=1:\quad (1^{3}+1+1)^{2}=(1+1+1)^{2}=3^{2}=9.
Portanto
f'(1)=\frac{9}{9}=1.
A inclinação da reta tangente no ponto (1,0) é m=1.

Passo 8

Usamos a forma ponto-inclinação da reta: y-y_0=m(x-x_0). Substituindo x_0=1, y_0=0 e m=1 obtemos a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação:
y-0=1\cdot(x-1).
(Em seguida simplifica-se para a forma explícita da reta.)

Resposta

y=x-1

Exercícios relacionados