(1 pt). Determine a equação da reta tangente no gráfico da funçāo
no ponto
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Informações relevantes:
- Função:
. - Ponto onde a tangente é pedida:
. - O que é pedido: equação da reta tangente ao gráfico de
em .
Passo 2
Ideia geral para resolver: a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente num ponto é dada pela derivada
avaliada nesse ponto. Depois usamos a forma ponto-inclinação da reta para escrever a equação da tangente:
onde
,
,
. Primeiro calculamos
.
Passo 3
Vamos usar a regra do quociente para derivar
. A regra do quociente diz:
Aqui:
-
, -
.
Explicando:é a derivada de em relação a e é a derivada de em relação a . O denominador fica .
Passo 4
Calcular
e
:
Justificativa rápida: a derivada de
é
e a derivada de uma constante é
; a derivada de
é
.
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Agora expandimos cuidadosamente os numeradores passo a passo.
Passo 6
Expandindo cada termo do numerador:
Subtraindo:
Portanto o numerador simplificado é
.
Passo 7
Logo a derivada fica:
Agora avaliamos em
para obter a inclinação da tangente:
Portanto
A inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 8
Usamos a forma ponto-inclinação da reta:
. Substituindo
,
e
obtemos a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação:
(Em seguida simplifica-se para a forma explícita da reta.)