Esboce os gráficos das funções abaixo, indicando, quando existirem, os pontos críticos, pontos de máximo e mínimo locais, pontos de inflexão, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento e a concavidade do gráfico.
.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função e indicar, quando existirem, os pontos críticos, máximos e mínimos locais, pontos de inflexão, assíntotas, intervalos de crescimento/decrescimento e concavidade. A função dada é
Informações relevantes fornecidas (já presentes na expressão):
- A função é um polinômio de grau 4 com termo principal
. - Não há assíntotas oblíquas ou verticais para polinômios (quando existirem assíntotas, normalmente aparecem em funções racionais; aqui são inexistentes).
- Precisamos encontrar derivadas, raízes, pontos onde as derivadas se anulam ou não existem, e analisar sinais dessas derivadas para classificar comportamento do gráfico.
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira
(regra básica: derivada de
é
; derivada de constante multiplicada por função é constante vezes a derivada).
Derivando termo a termo:
Fatorando para facilitar a análise:
Explicação didática curta: ao fatorar buscamos fatores que se anulam facilmente;
indica que
será uma raiz de multiplicidade 2 da derivada, e
dá a raiz
.
Passo 3
Encontrar pontos críticos: são pontos onde
ou
não existe. Aqui
existe sempre (polinômio), então resolvemos
.
Agora calculamos os valores de
nesses pontos para obter coordenadas:
Logo os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para classificar os pontos críticos calculamos a derivada segunda
(regra: derivar
):
A partir de ,
A partir de
Explicação didática:
indica concavidade; se
a curva é côncava para cima, se
é côncava para baixo. Também serve para o teste da segunda derivada para máximos/minimos locais: se
então mínimo local; se
então máximo local; se
o teste é inconclusivo.
Agora avaliamo
nos pontos críticos.
Passo 5
Quando o teste da segunda derivada é inconclusivo (aqui em
) é útil usar o sinal de
à esquerda e à direita de
ou observar multiplicidade do fator em
. Temos
. O fator
é sempre não negativo e anula em
sem trocar de sinal (multiplicidade par), e o fator
é positivo para
. Portanto:
- Para
pequeno, e ⇒ . - Para
, também .
Assimé positivo tanto à esquerda quanto à direita imediata de , só que . Conclusão: em a derivada se anula mas não há troca de sinal → não é máximo nem mínimo local. Esse tipo de ponto chama-se ponto de inflexão estacionário (tangente horizontal) se a concavidade muda de sinal em ; verificaremos isso mais adiante.
Passo 6
Encontrar possíveis pontos de inflexão: são pontos onde
ou
não existe e onde, além disso, ocorre troca de sinal em
.
Resolvem-se :
Resolvem-se
Calculamos os correspondentes valores de
:
Agora verificamos troca de sinal de
:
- Para
: escolha , ⇒ concavidade para baixo. - Para
: escolha , ⇒ concavidade para cima. - Para
: escolha , ⇒ concavidade para baixo.
Houve troca de sinal eme em , logo ambos são pontos de inflexão. Em particular é um ponto de inflexão estacionário (derivada nula + troca de concavidade).
Passo 7
Intervalos de crescimento e decrescimento usando o sinal de
.
Análise de sinal: com zero apenas em
. O sinal é determinado por
:
Análise de sinal:
- Se
então e, exceto em onde , temos . - Se
então e .
Portanto: -
é crescente em (com uma “planície” em onde a derivada zera, sem interromper o crescimento geral). -
é decrescente em .
Explicação prática: multiplicidade par em
faz
não trocar de sinal, por isso não há máximo/minimo em
.
Passo 8
Concavidade resumida a partir de
:
-
em ⇒ côncava para baixo. -
em ⇒ côncava para cima. -
em ⇒ côncava para baixo.
Pontos de inflexão:
e
.
Passo 9
Outros elementos úteis para o esboço:
- Interceptos com os eixos:
-intercept é . Raízes da função (solução ):
fatorando(observe que extraí esse fator da expressão original),
logoem (multiplicidade 3) e em (multiplicidade 1). Então interceptos em e .
Multiplicidade 3 emsignifica que a curva passa pela origem com tangente horizontal e muda de concavidade (comportamento de inflexão plana). - Comportamento para
: termo dominante é (grau par com coeficiente negativo), portanto Ou seja, as duas extremidades do gráfico apontam para baixo. - Assíntotas: como é polinômio, não existem assíntotas horizontais, verticais ou oblíquas.
Passo 10
Classificações finais e interpretação geométrica (útil para desenhar):
- O gráfico cresce desde
até , com uma “plana” em (derivada zero, mas sem extremum). - Em
ocorre ponto de inflexão com tangente horizontal. - Em
ocorre ponto de inflexão (concavidade muda de cima para baixo) com coordenada . - Em
há um máximo local (e, na verdade, máximo global) em ; depois de a função decresce até . - A função cruza o eixo
em (simples cruzamento) e em (comportamento de raiz de multiplicidade 3 — passa pela origem com achatamento).
Para esboçar: marque os pontos, , , ; trace curva que sobe desde , é côncava para baixo até , tem tangente horizontal em e fica côncava para cima até , volta a ser côncava para baixo após , atinge pico em e cruza o eixo em indo para .
Resposta
Pontos críticos:
e
.
Ponto de máximo local: (também máximo global).
Ponto de mínimo local: nenhum.
Pontos de inflexão: e
.
Intervalos de crescimento: .
Intervalos de decrescimento: .
Concavidade: côncava para baixo em e
; côncava para cima em
.
Assíntotas: nenhuma.
Interceptos/raízes: (multiplicidade 3) e
;
-intercept em
.
Ponto de máximo local:
Ponto de mínimo local: nenhum.
Pontos de inflexão:
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Concavidade: côncava para baixo em
Assíntotas: nenhuma.
Interceptos/raízes: