Esboce os gráficos das funções abaixo, indicando, quando existirem, os pontos críticos, pontos de máximo e mínimo locais, pontos de inflexão, assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento e a concavidade do gráfico.
y=\frac{4 x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{3}.

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função e indicar, quando existirem, os pontos críticos, máximos e mínimos locais, pontos de inflexão, assíntotas, intervalos de crescimento/decrescimento e concavidade. A função dada é
y=\frac{4x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{3}.
Informações relevantes fornecidas (já presentes na expressão):
  • A função é um polinômio de grau 4 com termo principal -\tfrac{1}{3}x^{4}.
  • Não há assíntotas oblíquas ou verticais para polinômios (quando existirem assíntotas, normalmente aparecem em funções racionais; aqui são inexistentes).
  • Precisamos encontrar derivadas, raízes, pontos onde as derivadas se anulam ou não existem, e analisar sinais dessas derivadas para classificar comportamento do gráfico.

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira y' (regra básica: derivada de x^{n} é n x^{n-1}; derivada de constante multiplicada por função é constante vezes a derivada).
y=\frac{4}{3}x^{3}-\frac{1}{3}x^{4}.
Derivando termo a termo:
y'=\frac{4}{3}\cdot 3x^{2}-\frac{1}{3}\cdot 4x^{3}=4x^{2}-\frac{4}{3}x^{3}.
Fatorando para facilitar a análise:
y'=\frac{4}{3}x^{2}(3-x).
Explicação didática curta: ao fatorar buscamos fatores que se anulam facilmente; x^{2} indica que x=0 será uma raiz de multiplicidade 2 da derivada, e 3-x dá a raiz x=3.

Passo 3

Encontrar pontos críticos: são pontos onde y'=0 ou y' não existe. Aqui y' existe sempre (polinômio), então resolvemos y'=0.
\frac{4}{3}x^{2}(3-x)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0\quad(\text{multiplicidade }2),\quad x=3.
Agora calculamos os valores de y nesses pontos para obter coordenadas:
y(0)=\frac{4}{3}\cdot 0^3-\frac{1}{3}\cdot 0^4=0,
y(3)=\frac{4}{3}\cdot 3^3-\frac{1}{3}\cdot 3^4=\frac{4}{3}\cdot 27-\frac{1}{3}\cdot 81=36-27=9.
Logo os pontos críticos são (0,0) e (3,9).

Passo 4

Para classificar os pontos críticos calculamos a derivada segunda y'' (regra: derivar y'):
A partir de y'=4x^{2}-\frac{4}{3}x^{3},
y''=8x-4x^{2}=4x(2-x).
Explicação didática: y'' indica concavidade; se y''>0 a curva é côncava para cima, se y''<0 é côncava para baixo. Também serve para o teste da segunda derivada para máximos/minimos locais: se y''(x_c)>0 então mínimo local; se y''(x_c)<0 então máximo local; se y''(x_c)=0 o teste é inconclusivo.
Agora avaliamo y'' nos pontos críticos.
y''(3)=4\cdot 3\cdot(2-3)=12\cdot(-1)=-12<0\quad\Rightarrow\quad (3,9)\text{ é um máximo local (concavidade para baixo).}éá
y''(0)=4\cdot 0\cdot(2-0)=0\quad\Rightarrow\quad\text{o teste é inconclusivo em }x=0.é

Passo 5

Quando o teste da segunda derivada é inconclusivo (aqui em x=0) é útil usar o sinal de y' à esquerda e à direita de 0 ou observar multiplicidade do fator em y'. Temos y'=\tfrac{4}{3}x^{2}(3-x). O fator x^{2} é sempre não negativo e anula em 0 sem trocar de sinal (multiplicidade par), e o fator (3-x) é positivo para x<3. Portanto:
  • Para x<0 pequeno, x^{2}>0 e (3-x)>0 y'>0.
  • Para 0<x<3, também y'>0.
    Assim y' é positivo tanto à esquerda quanto à direita imediata de 0, só que y'(0)=0. Conclusão: em x=0 a derivada se anula mas não há troca de sinal → não é máximo nem mínimo local. Esse tipo de ponto chama-se ponto de inflexão estacionário (tangente horizontal) se a concavidade muda de sinal em 0; verificaremos isso mais adiante.

Passo 6

Encontrar possíveis pontos de inflexão: são pontos onde y''=0 ou y'' não existe e onde, além disso, ocorre troca de sinal em y''.
Resolvem-se y''=0:
4x(2-x)=0\quad\Rightarrow\quad x=0,\; x=2.
Calculamos os correspondentes valores de y:
y(0)=0,
y(2)=\frac{4}{3}\cdot 2^{3}-\frac{1}{3}\cdot 2^{4}=\frac{4}{3}\cdot 8-\frac{1}{3}\cdot 16=\frac{32-16}{3}=\frac{16}{3}.
Agora verificamos troca de sinal de y'':
  • Para x<0: escolha x=-1, y''(-1)=4(-1)(2-(-1))=4(-1)(3)=-12<0 ⇒ concavidade para baixo.
  • Para 0<x<2: escolha x=1, y''(1)=4\cdot1\cdot(1)=4>0 ⇒ concavidade para cima.
  • Para x>2: escolha x=3, y''(3)=-12<0 ⇒ concavidade para baixo.
    Houve troca de sinal em x=0 e em x=2, logo ambos são pontos de inflexão. Em particular x=0 é um ponto de inflexão estacionário (derivada nula + troca de concavidade).

Passo 7

Intervalos de crescimento e decrescimento usando o sinal de y'=\tfrac{4}{3}x^{2}(3-x).
Análise de sinal: x^{2}\ge 0 com zero apenas em x=0. O sinal é determinado por (3-x):
  • Se x<3 então 3-x>0 e, exceto em x=0 onde y'=0, temos y'>0.
  • Se x>3 então 3-x<0 e y'<0.
    Portanto:
  • y é crescente em (-\infty,3) (com uma “planície” em x=0 onde a derivada zera, sem interromper o crescimento geral).
  • y é decrescente em (3,\infty).
Explicação prática: multiplicidade par em x=0 faz y' não trocar de sinal, por isso não há máximo/minimo em 0.

Passo 8

Concavidade resumida a partir de y'':
  • y''<0 em (-\infty,0) ⇒ côncava para baixo.
  • y''>0 em (0,2) ⇒ côncava para cima.
  • y''<0 em (2,\infty) ⇒ côncava para baixo.
Pontos de inflexão: (0,0) e \bigl(2,\tfrac{16}{3}\bigr).

Passo 9

Outros elementos úteis para o esboço:
  • Interceptos com os eixos: y-intercept é (0,0). Raízes da função (solução y=0):
    fatorando y=\tfrac{1}{3}x^{3}(4-x) (observe que extraí esse fator da expressão original),
    logo y=0 em x=0 (multiplicidade 3) e em x=4 (multiplicidade 1). Então interceptos em x=0 e x=4.
    Multiplicidade 3 em x=0 significa que a curva passa pela origem com tangente horizontal e muda de concavidade (comportamento de inflexão plana).
  • Comportamento para x\to\pm\infty: termo dominante é -\tfrac{1}{3}x^{4} (grau par com coeficiente negativo), portanto \lim_{x\to\pm\infty} y(x)=-\infty.Ou seja, as duas extremidades do gráfico apontam para baixo.
  • Assíntotas: como é polinômio, não existem assíntotas horizontais, verticais ou oblíquas.

Passo 10

Classificações finais e interpretação geométrica (útil para desenhar):
  • O gráfico cresce desde -\infty até x=3, com uma “plana” em x=0 (derivada zero, mas sem extremum).
  • Em x=0 ocorre ponto de inflexão com tangente horizontal.
  • Em x=2 ocorre ponto de inflexão (concavidade muda de cima para baixo) com coordenada \bigl(2,\tfrac{16}{3}\bigr).
  • Em x=3 há um máximo local (e, na verdade, máximo global) em (3,9); depois de 3 a função decresce até -\infty.
  • A função cruza o eixo x em x=4 (simples cruzamento) e em x=0 (comportamento de raiz de multiplicidade 3 — passa pela origem com achatamento).
    Para esboçar: marque os pontos (0,0), \bigl(2,\tfrac{16}{3}\bigr), (3,9), (4,0); trace curva que sobe desde -\infty, é côncava para baixo até 0, tem tangente horizontal em 0 e fica côncava para cima até 2, volta a ser côncava para baixo após 2, atinge pico em 3 e cruza o eixo em 4 indo para -\infty.

Resposta

Pontos críticos: (0,0) e (3,9).
Ponto de máximo local: (3,9) (também máximo global).
Ponto de mínimo local: nenhum.
Pontos de inflexão: (0,0) e \bigl(2,\tfrac{16}{3}\bigr).
Intervalos de crescimento: (-\infty,3).
Intervalos de decrescimento: (3,\infty).
Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,0) e (2,\infty); côncava para cima em (0,2).
Assíntotas: nenhuma.
Interceptos/raízes: x=0 (multiplicidade 3) e x=4; y-intercept em (0,0).

Exercícios relacionados